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Oremos.
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"Errado"
Penso que seria assim:
Lembrem-se que n = número par.
Se z^n + p = 0, então z^n= -p. Desse modo, z = raiz (n) de -p. Haja visto que não existe raiz par de número negativo, haverá apenas uma raiz real. Portanto, para P = positivo, não haverá raiz; para p = negativo, haverá uma.
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Delta é negativo, logo não teremos 2 raízes reais e distintas.
Delta positivo = 2 raízes reais e distintas
Delta igual a 0 = Duas raízes iguais
Delta negativo = Sem raízes positivas nos números reais.
Qualquer erro só comentar abaixo.
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GABARITO: ERRADO
Por hipótese, n é par, ou seja, n = 2k, onde k é um número natural.
z^n + p = 0
z^(2k) + p = 0
(z^(k))^2 + p = 0
Vamos fazer uma mudança de variável, seja x = z^k, dessa forma:
x^2 + p = 0
É uma equação do 2° grau incompleta com a = 1, b = 0 e c = p.
Aplicando fórmula de delta, temos:
delta = b² - 4ac
delta = 0² - 4*1*p
delta = -4p
que é diferente de zero, pois p é diferente de zero.
Agora, vamos analisar as possibilidades de p (positivo ou negativo).
Se p > 0, então delta < 0 e a equação z^(n) + p = 0 admitirá raízes complexas. (o erro está aqui, ele fala em raízes reais no item).
Se p < 0, então delta > 0 e a equação z^(n) + p = 0 admitirá raízes reais distintas.
Logo, a equação x^2 + p não admite, necessariamente, duas raízes reais distintas.
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Meu ponto de vista foi o seguinte:
sendo que, se n é par, então n é da forma 2k, ou seja n=2k. E p é diferente de zero, ou seja, pode assumir valores positivos e negativos.
O polinômio é da forma z^(n)+p=0, ou seja, z^(2k)+p=0.
Assim temos: z^(2k)= -p.
- Se p é menor que zero [ p<0, teremos um número positivo= a ], temos que z^(2k) = a, ou seja, z= mais ou menos a raiz de índice 2k do número a. Obtendo assim duas raízes reais distintas.
- Se p é maior que zero [ p>0, teremos um número negativo = -a ], temos que z^(2k) = -a, ou seja z= mais ou menos a raiz de índice 2k do número -a. Daí devemos lembrar que nos complexos: i²=-1. O que teremos: z= raiz de índice 2k de a.i², obtendo assim que z= + II i II.(raiz de índice 2k de a) e - II i II.(raiz de índice 2k de a).
Chegando assim que o erro foi dizer que o polinômio tem NECESSARIAMENTE duas raízes reais distintas.