Questão Q890826

A respeito dos números complexos, julgue o item a seguir.

Se n > 1 for um número inteiro e se ω ≠ 1 for uma raiz n-ésima da unidade (isto é, ωⁿ = 1), então 1 + ω + … + ωn - 1 = 0.

Alternativas

Certo

Errado

Comentários

Oremos.
Trata-se da soma de "n" termos de uma progressão geométrica onde a1 = 1 e q = w.
Sn = (q^n - 1).a1/(q-1) = (w^n - 1)/(w-1), sendo que no enunciado foi dito que w^n = 1, isso anula o numerador e faz a soma ter resultado nulo.
CERTO

Note que a soma:

1 + ω + … + ω^(n - 1)

É uma progressão geométrica tal que:

primeiro termo: a1 = 1
razão: q = w

A fórmula da soma dos termos de uma PG é:

Sn = [a1*(q^n - 1)] / (q - 1)

Logo, podemos escrever a soma 1 + ω + … + ω^(n - 1), da seguinte forma:

1 + ω + … + ω^(n - 1) = [1*(w^n - 1)] / (w - 1)

No enunciado, ele fala que w^n = 1, dessa forma, temos:

1 + ω + … + ω^(n - 1) = [1*(w^n - 1)] / (w - 1) = [1*(1 - 1 ) / (w - 1) = 0 / (w-1) = 0

Portanto, 1 + ω + … + ω^(n - 1) = 0

GABARITO: CERTO

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