A energia cinética é descrita por K = (1/2)mu², sendo m a massa em kg e u a velocidade transversal em m/s. Veja que chamamos a velocidade do elemento na corda, que é transversal (eixo y), de u, para não confundirmos com a velocidade v da onda, que atua no eixo longitudinal (eixo x).
O problema nos diz que:
μ (densidade linear) = 20,0 g/m, l (comprimento) = 0,50 cm. Com esses valores podemos calcular a massa, pois m = μ.l
Da Equação podemos extrair que: ym = 0,005 m; ω = 10 π rad/s; e k = π rad/m. Onde ym é a amplitude do movimento da em metros, ω é a frequência angular dada em radianos por segundo e k é número de onda dado em radianos por metros.
A velocidade transversal u é da derivada parcial da posição (y [x,t]) em relação ao tempo (t).
Fazendo então u = dy(x,t)/dt, temos que u(x,t) = ω.ym.sen(kx – ωt).
Colocando os valores de m e u em K, temos:
K = (1/2) μ.l.[ω.ym.sen(kx – ωt)]² = μ.l.ω².ym².sen²(kx – ωt).
O problema solicita a energia cinética máxima. Neste caso, K sendo uma função de y e t será máxima quando o valor da função sen² for máximo, onde a função sen² varia de 0 à 1, logo K (x,t) será máximo quando sen²=1.
Assim, Kmáx = μ.l.ω².ym²
Substituindo os valores dados pelo problema, temos:
Kmáx = (1/2).(0,02 [kg/m]).(0,005[m]).(10.π[rad/s])².(0,005[m])² = 1,2337 μ J.
Gabarito, letra D.