Gabarito: Errado.
Trata-se de uma questão de distribuições contínuas conjuntas.
Importante: Esse item requer o conhecimento de cálculo diferencial (derivadas, integrais simples, integrais duplas). Se você não estudou isso, vai ser difícil acompanhar ou entender a resolução.
O primeiro passo que recomendo a fazer em distribuições conjuntas contínuas é deixar calculado a função conjunta e as marginais das variáveis.
Calculando a conjunta f(x,y):
f(x,y) = ∫ ∫ axy dydx nos intervalos de [0,1] para x e [0,1] para y = 1.
Integrando primeiro em relação a Y:
∫ axy dy no intervalo de [0,1] = axy²/2 no intervalo [0,1] = ax/2.
Integrando em relação a X e igualando a 1:
∫ ax/2 dx no intervalo [0,1] = (a/2)(x²/2) = ax²/4 no intervalo [0,1]
ax²/4 no intervalo [0,1] = a/4.
Igualando a 1:
a/4 = 1.
Portanto, a = 4.
Função conjunta f(x,y) = 4xy.
Agora, calculamos as funções marginais:
Marginal de X:
fx(x) = ∫ 4xy dy no intervalo [0,1] = 2x.
Marginal de Y:
fy(y) = ∫ 4xy dx no intervalo [0,1] = 2y.
Se você perceber, o produto das marginais equivale a função conjunta. Portanto, as variáveis X e Y são INDEPENDENTES.
Calculando o que o enunciado pediu:
Da teoria, X|Y = Conjunta/Marginal de Y. No nosso contexto: Y|X = Conjunta/Marginal de X.
Y|X = Conjunta/Marginal de X
Conjunta/Marginal de X = 4xy/2x = 2y.
Como o resultado deu 2y, nossa distribuição condicional não é uniforme em [0,1].
Você poderia resolver direto pela informação de que X e Y são independentes:
P(Y|X) = P(Y). No nosso caso, f(Y|X) = fy(y) = 2y.
Seria uniforme se o resultado desse qualquer número inteiro, ou seja, uma constante. O que não foi o caso.
Espero ter ajudado.
Bons estudos!