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Derivar f(x,y) em relação a x duas vezes
se f''x (Ponto) > 0, o ponto é mínimo
se f''x (Ponto) < 0, o ponto é máximo
Fazendo:
f'x = 3x² - 6xy + 3y² + 2x
f"x = 6x - 6y + 2
Para A(0,-2) temos:
f"x = 6*0 - 6*(-2) + 2 = 14 > 0, o ponto A é mínimo
Para B(0,2) temos:
f"x = 6*0 - 6*2 + 2 = -10 < 0, o ponto B é máximo
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Apliquei o Teorema do Teste da Segunda Derivada para Valores Extremos Locais. E, o discriminante para B = (0, 2) é negativo. Logo, f em B é ponto de Sela.
Para A = (0, -2), o discriminante é positivo e Fxx é positivo em A, logo tem-se que f é ponto de mínimo local em .A.
Mas, curiosamente, apesar dessa minha resposta ser coincidir com o a letra c, a questão foi anulada. Logo, devo estar errado.
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Essa questão foi anulada pois os pontos apresentados como críticos na verdade não os são.
Mas fazendo a questão como se A e B apresentados fossem pontos críticos teríamos:
fxx(0,-2) = 14 => chamando esse termo de a
fxy(0,-2) = -12 => chamando esse termo de b
fyy(0,-2) =12 => chamando esse termo de c
b²-4ac < 0 e a > 0 =>pt (0,-2) pt mínimo
para o ponto (0,2) tem-se:
fxx(0,2) = -10 => chamando esse termo de a
fxy(0,2) = 12 => chamando esse termo de b
fyy(0,2) = -12 => chamando esse termo de c
b²-4ac > 0 => pt(0,2) pt sela
se fossem pontos críticos da função, a alternativa correta seria letra C
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Nicolas, na verdade não se pode considerar esses pontos A e B como críticos (máximo ou mínimo), para serem pontos críticos vc precisa igualar a zero a primeira derivada de X e Y, daí vc acha os pontos críticos, se vc fizer isso vai ver que são diferentes de (0,2) e (0,-2), assim, esses pontos não podem ser considerados críticos, então não tem resposta correta para a questão!