x³+bx²+cx+18=0
ele deu as raízes na questão então podemos começar a substituir .
Para X=-2
(-2)³+b(-2)²+c(-2)+18=0
resolvendo a algebra da isso > 4b-2c=-10
Para X=3
(3)³+b(3)²+c(3)+18=0
resolvendo a algebra da isso >> 9b+3c=-45
Formando um sistema de equações do primeiro grau .:
4b-2c=-10 (I)
9b+3c=-45 (II)
Multiplicando a equação (I) por 3 e a equação (II) por 2, e somando em seguida.
30b=-120 -----> b=-120/30=-4
ALTERNATIVA D
Ter multiplicidade "dois" significa que o número "3" é raiz duas vezes.
Ou seja, a questão nos deu duas raízes {-2,3}, mas notem que o enunciado diz que o "3" possui multiplicidade dois (ele é raiz duas vezes ou dizemos que é uma raiz DUPLA). Logo, temos as seguintes raízes {-2,3,3}.
Sabendo disso, podemos matar essa questão por dois caminhos.
CAMINHO (1): Usar as "Relações de Girard" (Lembrando que essa relação só é válida para polinômios de TERCEIRO grau, ou seja, só podemos utilizá-la quando um polinômio tiver grau três, igual a este da questão).
A soma das raízes é dada por: r1+r2+r3 = -b/a (Relação de Girard)
sendo assim, temos:
-2+3+3 = -b/1
-2+6 = -b
-b = 4
b = -4.
CAMINHO (2): "Teorema da Decomposição."
O "Teorema da decomposição" é dado por:
"(x-r1).(x-r2).(x-r3)...", simplificando...basta pegar a incógnita "x", diminuir pela quantidade de raízes que o polinômio possui e multiplicar aplicando a "PROPRIEDADE DESTRIBUTIVA."
Neste caso, como foi nos dado {-2,3,3}, temos:
(x-(-2)).(x-3).(x-3)
(x+2).(x-3).(x-3), multiplicando, iremos encontrar:
x3 -4x2 -3x + 18 = 0, comparando ----> (x3 + bx2 + cx + 18 = 0), veja que b=-4.