A(2, 0) e B(6, -4)
Coeficiente angular da reta AB:
m_0 = ∆y / ∆x
m_0 = 4 / - 4 = -1
Seja a reta r: y = ax + b
Como r ⊥ AB --> a = - 1 / m_0 = 1
Então r: y = x + b
Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.
M = (4, -2)
-2 = 4 + b --> b = -6
Portanto r: y = x - 6
Isolando x --> x = y + 6
Equação da circunferência: x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0
A própria questão e as alternativas mostram que a corda é secante à circunferência, então pode-se admitir que existem dois pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência e suas coordenadas devem satisfazer tanto a equação da circunferência como a da reta:
x = y + 6 (I)
x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0 (II)
Substituindo I em II:
(y + 6)² + y² - 12(y + 6) - 4y + 32 = 0
y² + 12y + 36 + y² - 12y - 72 - 4y + 32 = 0
2y² - 4y - 4 = 0
y² - 2y - 2 = 0
y = 1 ± √3 (Esses dois valores de y são as ordenadas dos dois pontos onde a reta intersecta a circunferência)
Voltando na equação x = y + 6, para y = 1 + √3, temos x = 7 + √3.
Para y = 1 - √3, temos x = 7 - √3.
Portanto os dois pontos onde a reta intersecta a circunferência são (7 + √3, 1 + √3) e (7 - √3, 1 - √3)
A distância entre eles é o comprimento da corda:
d = √( (∆x)² + (∆y)² )
d = √( (2√3)² + (2√3)² )
d = √( 12 + 12 )
d = √24 = √(4 * 6) = 2√6
Como d > 4, resposta: a)