como não dá para escrever a solução completa, indico o video https://www.youtube.com/watch?v=eZMRoHSuXB8 , que tem parte da solução. Com esta solução é possivel achar o raio do cilindro , depois basta apenas calcular o volume do cilindro pela formula: V= pi.r².h , que desenvolvendo chegará ao resultado :
1)V=(16/3)².[(128+192)/8] , V= pi.(256/9).40 v=10240pi/9 que fatorando dará V=( 2^11.5pi)/9 ... alternativa a.
ou em vez de seguir o video basta derivar a informação V(r) = 3πr²(8 − r) , colocando o raio de volta para o parentes teremos
V(r) = 3π(8r² − r³) , para que o cilidro tenha raio maximo a derivada deve ser igual a zero , logo
derivando ficará:
3π(8r² − r³)
3π (2. 8r- 3r²)
3π (16-3r²) , mantem-se a constante 3π , e iguala o restante a zero,
16-3r²=0 chegará que o r = 16/3 e depois fazer
V= pi.r².h
basta igualar a função V(r) a kpi/9 que é o volume máximo do cilindro. Assim temos:
3.pi.r^2.(8 - r) = kpi/9
multiplicando os dois menbros por 9/pi temos:
27r^2.(8 - r) = k
para que k seja o maior possivel precisamos encontrar o máximo da função no primeiro menbro, para isso deriva-se e iguala-se a derivada a zero, para encontrar o ponto critico:
(216. r^2 - 27r^3 )' = 432.r - 81 r^2 ( propriedade distributiva, depois dericvada)
ponto critico:
r.(432 - 81r) = 0
r = 0 ou r = 16/3 como procuramos o máximo r = 0 não nos interessa.
Subistituindo r = 16/3 na função temos:
216. (16/3)^2 - 27. (16/3)^3 = 6144 - 4096 = 2048 = 2^11
gabarito letra a