Questão 2776633

• Banca: FUMARC
• Órgão: SEE-MG
• Ano: 2018
• Provas: FUMARC - 2018 - SEE-MG - Professor de Educação Básica - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função Exponencial

A lei de resfriamento de Newton afirma que a diferença de temperatura entre um corpo e o meio que o contém decresce a uma taxa de variação proporcional à diferença de temperatura. Considerando ∆T₀ a diferença de temperatura no instante t = 0 e ∆T(t), a diferença em um instante t qualquer, essa lei se traduz pela expressão ∆T(t) = ∆T0.e^-kt, em que a constante k depende do corpo. Suponha que, em uma cozinha, cuja temperatura ambiente constante é de 30ºC, um bolo é retirado do forno e colocado sobre a pia. Nesse momento, a temperatura do bolo é de 100ºC.

Após 5 minutos, verifica-se a temperatura do bolo e o termômetro marca 65ºC.

Se o bolo estiver no ponto para servir quando sua temperatura atingir 37ºC, depois de quanto tempo, a partir do momento em que foi colocado sobre a pia, ele estará pronto para ser servido?

(Considere log 2 = 0,3.) 

• A. 14 min 08 s
• B. 14 min 14 s
• C. 16 min 06 s
• D. 16 min 40 s
• E. 20 min 10 s

Gabarito: D

Comentários

• Simbologia:

  
  

  B(0)= temperatura inicial do bolo, ao sair do forno.

  A(t)= 30ºc, temperatura do ambiente( constante)

   ∆(t)= B(t) - A(t)

  
  

  
  

  DADOS DO PROBLEMA

  B(0) = 100º c

  A(t) = 30º c

  ∆T(0) = 100-30= 70ºc

  
  

  após 5 minutos

  
  

  B(5)= 65ºc

  A(t)= 30c.

   ∆T(5)= 65-30= 35ºc

  
  

  logo temos:

  
  

   ∆T(5)=  ∆T(0). e^-k.t

  
  

  35= 70.e^-5.k

  
  

  0,5= e^-5k

  aplica logaritmo de ambos os lados

  
  

  log(0,5)= log(e^-5k)= log(1/2)= -5.k.log(e)= log(1)- log(2)= -5.k.log(e)

  
  

  = 0-0,3=-5.k.log(e)= -0,3=-5k.log(e)= 0,06= k.log(e)--------------- k= 0,06/[log(e)]

  
  

  prosseguimos no problema.

  
  

  B(t)= 37ºc

  A(t)= 30ºc

  t=?

  
  

   ∆T(t)= 70. e^-0,06/[log(e)].t ---------- equação geral do resfriamento.

  37-30= 70.e^-0,06/[log(e)]= 7= 70.e^-0,06/[log(e)].t logo;

  
  

  0,1= e^-0,06/[log(e)].t ( aplica-se log em ambos os lados)

  
  

  log(0,1)= -0,06/[log(e)].t. log e----------- note que os log(e) se anulam logo

  
  

  log(1/10)= -0,06.t= log(1)- log(10)= -0,06.t logo temos

  
  

  -log(10)= -0,06.t, logo 1= 0,06t, logo

  
  

  t= 1/0,06--------- t= 16,66 min= 16 min e 40 s aproximadamente

  
  

• Quem fez a questão não tem amor no coração