Questão 2816284

• Banca: UECE-CEV
• Órgão: UECE
• Ano: 2017
• Provas: UECE-CEV - 2017 - UECE - Vestibular - Segundo Semestre
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Plana; Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Leis dos Senos e Cossenos.

A soma dos elementos do conjunto formado por todas as soluções, no intervalo [0,2π], da equação 2sen⁴(x) - 3sen²(x) + 1 = 0 é igual a

• A. 3 π.
• B. 4 π.
• C. 5 π.
• D. 6 π.

Gabarito: D

Comentários

• Considerei u = sen²(x), portanto:

  2u² + 3u + 1 = 0

  ou

  (u - 1).(u - 1/2) = 0

  Obtive que as raízes de u são 1 e 1/2, logo:

  sen²(x) = 1 e 1/2; passando a raíz:

  sen(x) = 1, -1, √2/2 e -√2/2

  De acordo com esses quatro valores do seno, temos que:

  Para sen(x) = 1, x é igual ao ângulo π/2 (90°)

  Para sen(x) = -1, x é igual à 3π/2 (270°)

  Para sen(x) = √2/2, x assume dois valores: π/4 (45°) no 1° quadrante e 3π/4 (135°) no 2° quadrante

  Para sen(x) = -√2/2, x também assume dois valores: 5π/4 (225°) no 3° quadrante e 7π/4 (315°) no 4° quadrante

  Temos 6 valores na solução da equação, a soma deles é:

  π/2 + 3π/2 + π/4 + 3π/4 + 5π/4 + 7π/4

  O valor dessa soma é igual a 6 π.