Como m, 2m e n são raízes de p(x)= x^3 - 7x +k. Podemos reescrever p(x) como:
p(x)=(x-m)(x-2m)(x-n)
=(x^2-2mx-mx+2m^2 )(x-n)
=(x^2-3mx+2m^2)(x-n)
=x^3-nx^2-3mx^2+3mnx+2m^2 x-2m^2 n
=x^3-(n+3m) x^2+(3mn+2m^2 )x-2m^2 n
Comparando os termos deste p(x) com o descrito no enunciado, temos:
n+3m=0 →n=-3m (I)
3mn+2m^2=-7 (II)
2m^2 n≠0 (III)
Substituindo I em II, temos: 3m(-3m)+2m^2=-7 → -7m^2=-7 → m=±1
Substituindo (I) no binômio 〖(3m-n)〗^2, temos: 〖(3m+3m)〗^2=〖(6m)〗^2
Como m=±1, então o valor do binômio será 36.
Pelas relações de Girard, temos: m³ - 7m + k = 0 (1)
8m³ - 14m+ k = 0 (2)
n³ - 7n + k = 0 (3)
Subtraindo as equações (2) - (1) : 7m³ - 7 m = 0, logo, há três valores possíveis para m: 0, -1 ou +1
Fazendo P(m) = P(2m) = P(n) = 0, temos: 3m + n =0
3mn + 2m² = -7
2m².n = -k, como k é diferente de zero, excluimos o valor m=0
Se m = 1, n = -3
Se m = -1, n = 3
Substituindo no binômio (3m -n)² = (3.1 + 3)² = [3 (-1) - 3]² = 36. Letra a.