De acordo com o enunciado:
•p(1)=12
•p(-2)=0
•A divisão de p(x) por (x^2+x-2) gera um resto r(x)
Pelo Algoritmo de Euclides, temos: p(x)=q(x)d(x)+r(x)
Transformando o trinômio em binômio através de Bhaskara, temos: x^2+x-2=(x-1)(x+2)
Pelo Teorema do resto, temos: O resto da divisão de um polinômio p(x) por x – a é igual ao valor numérico de p em a. Nesse caso, devemos saber o resto de p(1) e p(-2). E isso é dado no enunciado.
Pelas alternativas dadas, a alternativa c é a única que atende aos critérios estabelecidos. Veja:
Para x=1, temos: 4(1)+8=12
e para x=-2 , temos: 4(-2)+8=0
Segundo o Teorema do Resto, o resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x - a) é igual a P(a).
P(x) = (x-a). Q(x) + R.
Para x = a, temos:
P(a) = (a-a) Q(a) + R. Logo, P(a) = R.
Considerando R(x) = a + b e usando os dados do problema e o Teorema do Resto, temos:
p(a) = R
p(1) = 12 = R = a + b
p(-2) = 0 = R = -2a + b
Resolvendo o sistema, achamos: a = 4 e b = 8. Portanto, o resto é: R(x) = 4x + 8. Letra c