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Apenas o primeiro termo (a1) ou o segundo termo (a2) podem ser maiores do que 1. O Outro necessariamente tem que ser zero para que os demais termos (a3, a4 e a5) sejam menores do que 1, nesse caso igual a zero.
Supondo:
a1 = 2
a2 = 3
Como a partir de a3 devemos multiplicar os termos anteriores, teríamos:
a3 = a1 x a2 = 2 x 3 = 6
a4 = a1 x a2 x a3 = 2 x 3 x 6 = 36
a5 = a1 x a2 x a3 x a4 = 2 x 3 x 6 x 36 = 1.296 (Logo maior do que 1).
Conclui-se que, necessariamente, a1 ou a2 (ou ambos) têm que ser igual a zero para que os demais termos (inclusive, obviamente, o termo a5, que deve ser menor do que 1 conforme afirma a questão).
Logo, apenas um dos termos (a1 ou a2) pode ser maior do que 1.
GABARITO: D
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Vamos analisar por partes, se a1 e a2 forem = 0, todos os demais serão = 0
Se a1 e a2 > 1, todos os demais serão maiores que 1
Como a questão pede para desconsiderarmos os números negativos e para considerarmos que a5 <1, somente um dos dois termos iniciais pode ser >1, ou nenhum dos dois. Vejamos com um exemplo:
Se a1 = 1/2 e a2 = 1/3; então:
a3 = 1/6
a4 / 1/36
a5 = 1/(2x3x6x36). Nem perca tempo fazendo as contas, basta concluir que a5 é > 1. Agora vamos testar com um termo inicial maior do que 1 e o outro menor:
a1 = 4 e a2 = 1/2:
a3 = 4/2 = 2
a4 = 4 x (1/2) x 2 = 4
a5 = 4 x (1/2) x 2 x 4 = 16. OPA! a5>1, então deve ser só com alguns valores específicos para a5 <1. Vamos pensar, se a3 for >1, a4 e a5 também serão >1. Então o enunciado só funciona com a combinação de a1 e a2 em que a3 fica <1. Como fazemos isso? Com o número fracionado sendo menor que o inverso do inteiro. Não entenderam? Veja o que acontece se estes forem iguais (a1 = inverso do a2): a1 = 1/2 e a2 = 2 --> a3 = 1 --> a4 = 1 --> a5 = 1.
Assim, se a1 = 2, a2 tem que ser <1/2. Por ex: a1 = 2 e a2 = 1/4 --> a3 = 2/4 = 1/2
a4 = 2 x 1/4 x 1/2 = 1/4
a5 = 2 x 1/4 x 1/2 x 1/4 = 1/4 x 1/4 < 1
Pronto! Somente um valor pode ser >1.
Gabarito: D.
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Onde na questão fala que os números são inteiros?????
Se a multiplicação dos termos desse 1000 e o a5 fosse 0,0001, teríamos o a5 menor que 1.
A resposta mais adequada pra mim é a letra E
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Tenho a mesma linha de raciocinio do colega Marco Pereira.
Vamos pedir comentário do Professor para ver se temos um modo mais conciso de resolver a questão !!!!
" Bons Estudos "
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Pessoal, atentem que o a5 não foi um número fixo dado pela banca, ele é a multiplicação dos termos anteriores!
Assim, se a multiplicação dos termos anteriores for 1.000 (a4 = a1 x a2 x a3 = 1.000),
o a5 será a4 X os termos anteriores, ou seja 1.000 X 1.000
Não pode o a4 ser mil e o a5 ser 0,000001.
*Marquei para comentário do professor também.
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para que o número numa multiplicação dê menos que um, deve ser multiplicado por pelo menos um menor que 1
ex: 1x0,5=0,5 ou 0,3x0,3=0,09
Se não multiplicar por nenhum número menor que 1, nunca o resultado será 1 número menor que 1.
ex: 1x1=1 3x3=3
No máximo 1 termo pode ser maior que um, se a1 e a2 (os dois) forem maior que 1, nunca terá um número menor que 1 como resultado.
letra d
Na primeira leitura tinha passado desapercebido que o número não será multiplicado por uma razão e sim pelo número antecessor.
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Amigo Marco Pereira, o termo a5 é obtido a partir da multiplicação dos termos anteriores, logo vc não pode supor q ele valha 0,0001.
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Pontos chave
• A5 é menor que 1
• A3 é produto de A1 e A2
• A5 é produto de todos os anteriores
A. INCORRETA. Um número inteiro pode se tornar um valor racional se multiplicado com outro número racional. Exemplo: A1=2; A2=0,1 A3=0,2; A4=0,04; A5=0,0016.
B. INCORRETA. Não é possível, pois o valor cresce exponencialmente, então se os dois primeiros forem menores que 1, AX tenderá a 1, mas nunca o alcançará.
C. INCORRETA. Também não é possível pela mesma explicação da B.
D. CORRETA. Perfeito, apenas um número maior que 1, sendo ele A1 ou A2, que, ao ser multiplicado pelo outro, resulte em um valor racional menor que um. Como o exemplo que dei na A.
E. INCORRETA. É sequencialmente impossível, pois para que exista dois números maiores que 1, nas regras dispostas, seria necessário que os dois primeiros formasse A3 maior que 1, impossibilitando A5 ser menor do que 1.
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Questão ridícula. Em momento algum fala que os números precisam ser inteiros. Logo a alternativa mais correta é a letra E.
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me preocupa estudar pelo Qc quando vejo questão como essa em que os dois comentários mais curtidos apresentam erros.
Tinha que ter opção não gostei para corrigir essas distorções.
Acredito que Marco Pereira interpretou a questão de maneira incorreta, pois não considerou que a5=a4xa3xa2xa1.
O André erra ao afirmar que um dos termos (a1 ou a2) obrigatoriamente tem de ser 0, apesar de seu raciocínio achar a resposta certa. Podemos ter:
a1 = 2
a2 = 1/4
a3 = a1 x a2 = 1/2
a4 = 2 x 1/4 x 1/2 = 1/4
a5 = 2 x 1/4 x 1/2 x 1/4 = 1/16
O mais fácil é usar com exemplos como acima, mas a lógica matemática é a seguinte.
a1 = a1
a2 = a2
a3 = a1 x a2
a4 = a1 x a2 x a3 = a3 x a3
a5 = a1 x a2 x a3 x a4 = a4 x a4
Como a5 < 1, e a5 = a4 x a4 <1, logo a4 < 1
a4 < 1 e a4 = a3 x a3, a3 < 1
a3 = a1 x a2, logo a1 x a2 < 1, para isso ser possível ou :
a1 e a2 são menores que 1
a1 ou a2 =0
um deles maior que 1 e outro menor que 1, sendo que o denominador do <1 tem que ser maior que o numerador >1
Eliminando as alternativas:
a) todos os termos são, necessariamente, menores que 1. ERRADO
-> não é necessário, a1 ou a2 pode ser maior que 1, desde que o denominador do termo <1 for maior que o numerador do termo >1. Como no exemplo anterior, a1=2 e a2=1/4 -> 4>2
b) apenas dois termos são menores que 1. ERRADO
-> não podem ser apenas dois termos, pois a5 = a4 x a4, a4 = a3 x a3, como mostrado anteriormente.
c) apenas três termos são menores que 1. ERRADO
-> mesmo raciocínio anterior.
d) apenas um termo pode ser maior que 1. GABARITO
-> como demostrado anteriormente
e) dois termos podem ser maiores que 1. ERRADO
como demostrado anteriormente a5, a4, a3 tem que ser menor que 1. E para a3 ser menor que 1, sendo a3 = a1 x a2, somente um deles pode ser maior que 1.
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Indira Nova e Marco Pereira, não.
Se A5 que é produto de A4 com A3 JÁ É MENOR DO QUE 1, Algum dos termos anteriores que veem sendo multiplicado pra formar o seu sucessor OBRIGATORIAMENTE TEM QUE SER MENOR DO QUE 1.
Pois, a multiplicação de 2 números inteiros positivos SEMPRE SERÁ MAIOR QUE 1. (corolário matemático)
Logo a única possibilidade de A5 ser menor que 1 é que no mínimo A1 ou A2 seja menor que 1.
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Pensei assim:
Se A1 e A2 forem números => que 1 o A5 será igual ou maior que 1. Porque mesmo que fosse A1 e A2 = 1 - 1x1 sempre dá 1. Logo sabemos que pelo menos 1 dos números precisa ser inferior a 1.
Tentei A1=1 e A2 = 0,9
1 x 0,9 = 0,9 = A3
0,9 x 0,9 = 0,81 = A4
0,81 X 0,9 = 0,729 = A5
E A5 nesse caso deu menor que 1.
Eliminando as alternativas:
a) todos os termos são, necessariamente, menores que 1. ERRADO
-> não é necessário, a1 ou a2 podem ser maior ou igual a 1.
b) apenas dois termos são menores que 1. ERRADO
-> menores que 1 no meu exemplo deu 4.
c) apenas três termos são menores que 1. ERRADO
-> mesmo raciocínio anterior.
d) apenas um termo pode ser maior que 1. GABARITO
-> eu testei A1 =1, mas se testasse com 2 também daria certo, basta pra isso que o valor de a2 seja menor que 0,5.
e) dois termos podem ser maiores que 1. ERRADO
Claramente errada. Pois se fossem 1 o A5 já daria 1. O que não pode.
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Será que só eu tenho vontade chorar com uma questão dessas :/
Não é possível que alguém tenha inventado isso!
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Só tem um detalhe Kleber Costa, a1 ou a2 não podem ser 0, porque zero não é um número positivo.
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o comando disse sequência com números positivos, não disse que teríamos que respeitar uma ordem crescente ou decrescente; a1 = 10 ; a2 = 1/100 ; a3 = 1/10; a4 = 1/100 e a5 = 1/10000
até tentei por a1 = 100 e a2 = 10 mas nesse caso a5 ficaria maior que 1
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Já estou com medo dessas questoes CESPE!!
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Bastasse que 1 número fosse menor que 1.
Vamos por partes, imaginemos a sequência sem nenhum número:
a1 / a2 / a3 / a4 / a5
Ele diz no enunciado que a1 e a2 foram dados como positivos. Não disse que pertencem ao conjunto dos naturais, dos inteiros, dos reais, nem nada. Então vamos considerar o mais amplo possível, certo?
Aí, a partir da a3 (ou seja, para formar a3) vc tem que fazer o produto dos dois anteriores (a1 x a2 = a3).
Se ele disse que a5 é <1, então a3 e/ou a4 deveriam ser tbm <1, certo? Mas vejamos, para formar a3 precisariamos do produto entre a1 e a2. E para formar a4 precisaríamos do produto entre a3 e a2, certo?
Imaginem o seguinte: se a1 = a2 = 1
1 / 1 / a3 / a4 / a5
Observe que seria impossível, matematicamente, chegar em a5 < 1, pois a3 e a4 seriam obrigatoriamente 1. Desse modo bastasse que ou a1, ou a2, ou ambos fossem <1.
Imaginem que a1 = 1 e a2 = 0,99
1 / 0,99 / 0,99 / 0,98 / 0,97 (arox.)
Imaginem que a1 = 0,99 e a2 = 0,99
0,99 / 0,99 / 0,98 / 0,97 / 0,96
Então as únicas duas maneiras de chegar a uma sequência de a1 até a5, criando a5 < 1 seriam: todos os números menores do que 1, OU pelo menos um termo maior ou igual a 1 e o resto tudo menor que 1.
Item A - Errado, pois ele diz NECESSARIAMENTE, mas vimos que são 2 possibilidades.
Item B - Errado, pois ou 5 termos são menores do que 1, ou 4 termos são menores que 1.
Item C - Vide item B.
Item D - Sim, apenas 1 termo pode ser maior que 1 (ou igual a 1, mas as alternativas não trouxe isso, logo a gente ignora). Existe a opção de nenhum ser maior que 1? Sim, existe tbm. Mas ainda não exclui a outra possibilidade.
Item E - Errado, pois se dois termos forem maiores que 1 (nesse caso a1 e a2 pois são os únicos que podem ser qualquer número positivo), a5 (como mostrado no começo) jamais chegaria em <1.
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Entendi a questão com base no comentário do professor. Então segue:
a questão diz que os valores de A3 a diante são o produto de todos os anteriores a ele.
então temos:
A5 = A1XA2XA3XA4
A4 = A1XA2XA3
A3 = A1XA2
Agora vamos para as alternativas
A- errada pois se isso fosse verdade, A5 seria maior que 1
B - errada pois se isso fosse verdade, A5 seria maior que 1
C - errada pois se isso fosse verdade, A5 seria maior que 1
D - Correta
E - Errada, pois se isso fosse verdade, o resultado de A3, A4 e A5 não seria o produto dos anteriores.
A1 = 1
A2 = 0,8
A3 = 0,8 x 1 = 0,8
A4 = 0,8 x 0,8 = 0,54
A5 = 0,54 x 0,8 = 0,43
Note que A1 poderia ser 1,1 ou seja, maior que 1, e ainda assim, o resultado de A5 seria menor que 1, conforme enunciado.
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SOCORRO
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Vocês que responderam usando 0 acertaram na sorte. A questão diz "Para construir a sequência a1, a2, a3, a4, a5, de números positivos", e 0 não é um número positivo
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pensa num professor ruim pra resolver questão, as vezes eu penso que ele só sabe resolver pq sabe o resultado e vai fazendo pra chegar nele, ele nunca mostra algo padrão que possa ser utilizado em todas as questões parecidas
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Até que dia esse professor vai ficar no qconcursos...
Ele literalmente é fraco, robótico, pega a resolução pronta e ler ela, não explica nada direito
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O examinador acorda e pensa : Como posso lascar mais ainda a vida de um concurseiro? Tcharam!
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Se A1=2 e A2=0,9 , então A3=1,8 > 1
Acho que ta errado o gabarito, todos devem ser menores que 1.
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CREM DEUS PAI
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Vitor Coelho
Mas desse jeito o a5 irá ficar maior que 1 logo não bateria com o enunciado.
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Se servir de ajuda, segue abaixo o meu raciocínio para chegar à letra D como gabarito:
para a1 = 1,01 e a2 = 0,99
=> a5 = a1 x a2 x a3 x a4
=> a5 = 1,01 x 0,99 x (1,01x0,99) x (1,01 x 0,99 x 0,9999) x (1,01 x 0,99 x 0,9999 x 0,99998...)
=> a5 = 0,9997...
logo, a5 < 1, com apenas 1 termo sendo maior que 1.
Lógico que se colocarmos também, de cara, a1 e a2 < 1 (a1 = 0,99 e a2 = 0,98) chegaremos à a5 < 1. Mas a alternativa A se torna errada pelo fato de mencionar o termo "necessariamente", porque acabamos de verificar que com um termo maior que 1 podemos também chegar ao resultado a5 < 1.
Para a letra E, se houver 2 números maiores que 1, o terceiro será maior que 1 e assim por diante, resultando em a5 > 1.
Se eu estiver errado no raciocínio podem comentar.
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Em 06/08/20 às 11:08, você respondeu a opção E. Você errou!
Em 09/06/20 às 11:14, você respondeu a opção E. Você errou!
Em 05/08/19 às 11:20, você respondeu a opção E. Você errou!
Tá ótimo! kkkkk
Não teve jeito de entender.
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TEMOS QUE ANTES DE TUDO RECONHECER E CONSIDERAR A LEI DE FORMAÇÃO. A partir do terceiro termo, a lei é essa: an = a (n-1) x a (n-2) x (...) até o final da sentença, no caso até o n = 5. Não adianta colocar qualquer número que encaixe nas opções e ir testando não, pois tem que ser satisfeita essa condição que o examinador determinou. Condições: todos os termos positivos, logo maiores e diferentes de 0 e a5 < 1.
a3 = a1 x a2
a4 = a1 x a2 x a3
a5 = a1 x a2 x a3 x a4
Resumo:
a3 = a1 x a2
a4 = a3 x a3 = (a3)^2
a5 = a4 x a4 = (a4)^2
Se a5 < 1, então (a4)^2 < 1.
a4 < ± √1 → a4 < ± 1
Como pode ter somente valores positivos, então a4 < 1.
Considerando isso, a3 < 1.
Se a3 < 1, então a1 x a2 < 1.
Então, a5 < 1, a4 < 1 e a3 < 1. Não sabemos o valor de a1 nem de a2.
Assertiva A: ERRADA. Podemos ter o 1 multiplicando qualquer número menor que 1 e a1 x a2 < 1. Exemplo: a1 = 1 e a2 = 0,99. Então a1 x a2 = 0,99.
Assertiva B: ERRADA. a5, a4 e a3 < 1.
Assertiva C: ERRADA. Pode ser que ou a1 ou a2 seja menor que 1, como explicado a seguir.
Assertiva D: CERTA.
Por exemplo:
Quando a1 = 2 e a2 < 0,5, a1 x a2 < 1, porque 2 x 0,5 = 1. Então:
a1 = 2 e a2 = 0,4, então a1 x a2 = 0,8.
a1 = 2 e a2 = 1/20, então a1 x a2 = 0,05.
→ Se qualquer número nessas condições for multiplicado pelo valor de a3, o valor de a5 < 1.
ASSERTIVA E: ERRADA. Se a1 x a2 > 1, então a5 > 1.
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Por isso que amo Direito
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Eu discordo do gabarito para mim a E seria a mais correta, pelo fato de não restringir, posso invalidar todas as alternativas menos a E que está no campo da probabilidade.
A letra D) apenas um termo pode ser maior que 1.
Resposta: a1= 0,1 ; a2= 1; a3= 0,1; a4= 0,01; a5=0,0001 --> Logo a tornaria incorreta sendo que nenhum termo seria maior que 1.
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Acho muito ruim essa didática desse professor.
Questão que através dos ensinamentos desse professor é melhor deixar em branco pois vai te fazer perder tempo e saúde mental.
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Não entendi nada da explicação desse professor!
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Interpretei essa questão da seguinte forma:
1º - Todos os termos são maiores que zero.
2º - O quinto número da sequência é menor que 1.
3º - A partir do 3º termo, a sequência segue o padrão de que o valor do termo será igual a multiplicação de todos os termos anteriores:
a1 = x
a2 = y
a3 = a1*a2
a4 = a3*a2*a1 = a3*a3 = a3²
a5 = a4*a3*a2*a1 = a4*a4 = a4²
Podemos fazer a5= 0,9999 (valor próximo de 1, mas que não é 1) para conhecermos os maiores dos demais termos:
a5=0,9999
a4²=a5, portanto, a4 = √a5 = √0,9999 = 0,9999 (valor aproximado)
a3²=a4, portanto, a3 = √a4 = √0,9999 = 0,9999 (valor aproximado)
Agora só restam a1 e a2:
a1*a2 = a3
a1*a2=0,9999 (aproximadamente)
Analisando essa igualdade, podemos tirar as conclusões:
1ª - Se a1 > 1, necessariamente a2 terá que ser menor que 1 para satisfazer a igualdade anterior.
2ª - Se a1 < 1, a2 poderá ser qualquer valor, inclusive um valor maior que 1.
3ª - Os dois números nunca poderão ser >0 ao mesmo tempo, se não a multiplicação passará do valor de 0,9999.
Então concluímos que poderemos ter, no máximo, um dos números maior que 1.
Gabarito D
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Esse professor (Thiago Nunes) é péssimo. QC, vejam isso, por favor!Em muitas das questões é preciso recorrer aos comentários dos colegas.
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Fiz a conta 1.1x1.1x1.1x0.1 resultado 0,14641. Ou seja 3 numeros maiores que 1 e o restultado de 0,1331 oq já torna errado a alternativa D
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fui em uma logica que deu certo
atribuir valores
a1= 0
a2= 1
a3 e o produto dos anteriores, ou seja, a3 = 0 ,
a4= 0
a5= 0
todos os números positivos e apenas 1 termo pode ser maior que 1
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Pelo enunciado temos:
A1;
A2;
A3= A1*A2;
A4= A1*A2*A3 = =A3^2 ou =(A1*A2)^2;
A5= A1*A2*A3*A4 = A4^2 ou =(A1*A2)^4
Então
(A1*A2)^4<1
Tirando a raiz considerando só os positivos reais: A1*A2<1
Ou seja
- A1 ou A2 têm que ser <1, apesar de que um deles poder ser >=1 e também é possível que os dois sejam <1.
- A3<1, pois A3=A1*A2
- A4<1, pois qualquer numero entre 0 e 1 elevado a expoente par fica entre 0 e 1.
Item a está fora porque ou A1 ou A2 pode ser >=1;
Item b está fora porque A3,A4 e A5 com certeza são <1;
Item c está fora porque além de A3,A4 e A5, temos pelo menos mais um <1, A1 ou A2 ou os dois;
Item e está fora e o d está certo por que, entre A1 e A2, somente 1 deles pode ser >=1 e pelo menos um deles tem que ser <1.
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A3 = A1 X A2
A4 = A1 X A2 X A3 = A1 X A2 X A1 X A2
A5 = A1 X A2 X A3 X A4 = A1 X A2 X A1 X A2 X A1 X A2 X A1 X A2
Eu sei que A5 é < 1
Então A1 X A2 X A1 X A2 X A1 X A2 X A1 X A2 (A5) < 1 ... A1^4 X A2^4 < 1 ... A1 X A2 < 1 ... Como ele diz que são positivos somente um deles pode ser maior do que 1 para satisfazer a inaquação.
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GAB: D
No mínimo 4 termos são menores que 1.
Dica: faz por eliminação:
A - todos os termos são, necessariamente, menores que 1.
- Errado. Ex possível: A1 = 2 // A2 = 0,1 // A3 = 2.0,1 = 0,2 // A4 = 2.0,1.0,2 = 0,04 // A5 = 2.0,1.0,2.0,04 = menor que 1.
B - apenas dois termos são menores que 1.
- Errado. Se A5 é menor que 1, necessariamente A3 e A4 são menores que 1.
C - apenas três termos são menores que 1.
- Errado. A3, A4, A5 e A1 ou A2 devem ser menores que 1, necessariamente. Ou seja, 4 termos devem ser menores que 1.
D - apenas um termo pode ser maior que 1.
- Certo. As únicas possibilidades são: Todos os termos serem menores que 1 ou 4 termos menores que 1 e um maior que 1.
E - dois termos podem ser maiores que 1.
- Errado. Se existirem dois termos maiores que 1, necessariamente A3, A4 E A5 serão maiores que 1. Ex: A1 = 2 // A2 = 2 // A3 = 2.2 = 4 // A4 = 4.2.2 = 16 // A5 = 16.4.2.2 = 256