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ID
2864476
Banca
Quadrix
Órgão
SEDF
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Considerando que, em um triângulo retângulo, a hipotenusa meça o dobro de um dos catetos, julgue o item a seguir.



A área do triângulo vale √3/8 vezes o quadrado da hipotenusa.

Alternativas
Comentários
  • A altura de um triangulo retângulo se dá traçando uma linha do vértice do ângulo reto até a hipotenusa, de tal forma que essa linha forme um angulo reto com a hipotenusa.

    Chamemos o triangulo inicial de T1, com hipotenusa = a, e catetos b e c. E os dois triângulos resultantes, depois de fazer uma linha para a altura, como sendo os triângulos T2 e T3.

    Precisaremos utilizar semelhanças de triangulo para calcular a altura.

    Note que os triângulos T1, T2 e T3 tem os ângulos reto, alfa e beta. Vamos utilizar a semelhança de triângulos partindo da hipotenusa e do cateto adjacente e um dos ângulos, que escolhi como sendo o angulo beta.

    Ou seja, no triangulo T1 temos hipotenusa = a, e cateto adjacente a beta = b

    No triangulo T3 temos hipotenusa = c, e cateto adjacente a beta = h.

    Por semelhança de triângulos, temos: a/b = c/h

    ou seja, h = b*c/a


    Sabemos que a hipotenusa mede o dobro de um dos catetos, então: a^2 = b^2 + c^2

    Ou a = 2b, ou a = 2c

    Se a = 2c, então (2c)^2 = b^2 + c^2 => b = c*raiz(3)


    Então, substituindo a = 2c e b = c*raiz(3) na equação da altura, temos:

    h = b*c/a = (c*raiz(3)*c) / (2c)

    h = c*raiz(3)/2


    Para a = 2c: área = base*altura/2 = (2c*c*raiz(3)/2)/2 = c^2*raiz(3)/2


    verificando: (2c)^2*raiz(3)/8 = 4c^2*raiz(3)/8 = c^2*raiz(3)/2


    Resposta correta ;)

  • Apenas dei valores ao triangulo: Cateto1 = 2, Hipotenusa = 4, descobri o valor do cateto dois através do teorema de pitágoras, cateto2 = 2 raíz de 3.

    Através das relações métricas do triângulo retângulo onde a*h=b*c , descobri a altura deste triângulo h=raíz de 3.

    A área calculada deste triangulo foi 2 raíz de 3 e isso é igual a √3/8 vezes o quadrado da hipotenusa deste triangulo criado. CORRETO!