Creio que "a parte contrária" faz referência à parte que requer junto ao juiz ou tribunal, isto é, contrária ao requerente da litigância de má-fé.
Assim, a condenação da litigância de má-fé pode ser aplicada de ofício, ou a requerimento da parte, recaindo a multa sobre a parte contrária (à parte que requereu a litigância de má-fé), vedada a condenação solidária ao seu advogado.
CPC/15, Art. 81. De ofício ou a requerimento, o juiz condenará o litigante de má-fé a pagar multa, que deverá ser superior a um por cento e inferior a dez por cento do valor corrigido da causa, a indenizar a parte contrária pelos prejuízos que esta sofreu e a arcar com os honorários advocatícios e com todas as despesas que efetuou.
§ 1o Quando forem 2 (dois) ou mais os litigantes de má-fé, o juiz condenará cada um na proporção de seu respectivo interesse na causa ou solidariamente aqueles que se coligaram para lesar a parte contrária.
§ 2o Quando o valor da causa for irrisório ou inestimável, a multa poderá ser fixada em até 10 (dez) vezes o valor do salário-mínimo.
§ 3o O valor da indenização será fixado pelo juiz ou, caso não seja possível mensurá-lo, liquidado por arbitramento ou pelo procedimento comum, nos próprios autos.