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RESOLUÇÃO:
O número de amostras com reposição é 6 x 6 = 36.
Para extrair uma amostra de 2 números sem reposição, basta fazermos a combinação C(6,2) = 6×5 / 2 = 15.
Assim, temos 36 – 15 = 21.
Gabarito: E
Arthur Lima: Direção Concursos
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Não faz sentido nenhum, pois para calcularmos uma amostra SEM REPOSIÇÃO não usamos Combinação a menos que a questão nos afirme em algum lugar que a ordem não importe, o que não foi feito.
No primeiro caso, podemos tirar 6 números na primeira retirada e 6 na segunda, pois repusemos o número de volta à urna. Logo são 36 possibilidades com reposição
Como não estamos repondo os números então na primeiro retirada podemos tirar 6 números diferentes. E na segunda 5.
Logo: 6x5 =30 chances
A ordem importa?
Da mesma maneira que no primeiro caso (com reposição), a ordem importa. Pois a amostra 12 é diferente da amostra 21. Não há nenhum lugar na questão afirmando o contrário.
O resultado deveria ser |36 - 30| = 6.
Na minha opinião essa questão foi mal elaborada e deveria ter sido anulada.
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Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante.
No enunciado ele diz: n o número de amostras aleatórias possíveis de 2 elementos que podem ser extraídas da população sem reposição.
A6,2 = 6*6 = 36
As combinações são como arranjos, porém, a ordem dos elementos que compõem um resultado não importa, ou seja, um resultado ABC é considerado igual a um resultado ACB. Neste caso, fala-se das combinações de n elementos tomados k a k. Concordo que o enunciado foi mal elaborado, mas a ideia é que a população com repetição pode ser qualquer ordem e a população sem repetição a ordem não importa, então se a população está sendo representada pelos números 1,2,3,4,5,6 os conjuntos são iguais ({1, 2} = { 2,1}) porque os representantes da população são o mesmo. Já no primeiro caso, a população se repete. Então consideramos tudo, inclusive {1,1}. Espero ter ajudado.
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Com reposição: n1 = 6 6 = 36 (ocupa-se 2 casas das 6 casas, como é com reposição, repete o 6 se fosse sem seria 5 na segunda casa
Sem reposição: n2 = 6!/(6-2).2! = 6!/4!.!2 = 6.5.4! / 4!2! = 6.5/2 = 30/2 = 15 neste caso usa-se a formula
n1 - n 2 = 36 - 15 = 21
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Então, temos um amostra de {1,2,3,4,5,6} sendo que n1= 2 com reposição en2= 2 sem reposição.
Então temos C21,2 = 21!/2!*2! , LOGO temos 210 - 189 = 21
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Meses de preparação para se deparar com essa questão mal e parcamente elaborada. O 5kavurzka explicou perfeitamente. Deveria ter sido anulada.
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Eu não entendi uma coisa: se a ordem não importa para o segundo (n2) porque importa para o primeiro (n1)?
A professora do QC não explicou... ;/
Detesto quando os professores se esquivam de explicar as coisas.
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gravem que quando estiver falando de elementos de conjuntos, a ordem não importa, porque o que interessa é quais elementos o conjunto ou subconjunto possui, significando que {2,3} é a mesma coisa que {3,2}, é a mesma amostra, e por isso utiliza-se a fórmula da combinação
porém, quando fazemos reposição dos elementos, esta lógica não vale, porque o conjunto filho pode ter dois elementos iguais, coisa que o conjunto mãe não possui. O conjunto {1,2,3,4,5,6} só possui um algarismo "1", mas é possível que a amostra n2 possua dois algarismos "1".
Isso significa que não faria sentido retirar o conjunto de prováveis amostras com os mesmos elementos dispostos em ordem diferente, como ocorre em uma combinação, porque não estaríamos mais limitados à lógica dos conjuntos que citei em cima. Se de {1,2,3,4,5,6} eu posso tirar amostras de {1,1}, onde tenha claramente uma ordem, já que possui o primeiro 1 e o segundo 1, isso significa que poderíamos ter também o 2 como primeiro ou como segundo elemento do conjunto, o três como primeiro ou como segundo...e assim por diante
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Caro 5kavurzka,
Li seu comentário e acho que poderia ajudá-lo a entender. Inicialmente pensei como você, mas esse raciocínio está errado.
No caso de n1 é certo de que a ordem não importa, pois havendo reposição, temos o mesmo número de possibilidades para cada uma das amostras retiradas:
n1= 6 x 6 = 36 --> sendo 6 possibilidades da primeira retirada e 6 possibilidades da segunda
Já para n2 o raciocínio é diferente. Vou demonstrar:
Imagina se retirássemos a amostras assim:
1 - 1
1 - 2
1 - 3
(...)
2 - 1
2 - 3
(...)
Você concorda que a amostra retirada em 1 - 2, seria idêntica a amostra retirada em 2 - 1? Assim neste caso, a ordem importa, porque nos dois casos temos a mesma amostra, somente retirada em ordens diferentes. Assim:
n2= 6 x 5
2 1
n2 = 30
2
n2 = 15
(n1 - n2) =
(36 -15) = 21
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Com reposição -> Principio Multiplicativo
1º possibilidade = 6
2º possibilidade = 6
6 x 6 = 36
Sem reposição -> Combinação C6,2 = 15
Logo 36 - 15 = 21
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O enunciado da questão diz que a ordem nao importa (aleatório)
vamos usar a combinação tanto no n1 quanto no n2
n1 tenho 2 elementos tendo cada um 6 possibilidades (pois temos reposição) = C 6,1 x C6,1 = 6x6= 36
n2 tenho 2 elementos tendo um com 6 possibilidades o outro com 5 possibilidades (pois não temos reposição). Como a ordem não importa vamos usar a combinação = C 6,2 = 15
eu já faço direto 6x5/2!
sendo 6x5 ( pois o primeiro elemento tem 6 possibilidades e o segundo elemento tem 5 possibilidade por não haver reposição) e o 2! (pois como a ordem não é importante consigo permutar os dois elementos)
resposta: 36-15 = 21
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O enunciado da questão diz que a ordem nao importa (aleatório)
vamos usar a combinação tanto no n1 quanto no n2
n1 tenho 2 elementos tendo cada um 6 possibilidades (pois temos reposição) = C 6,1 x C6,1 = 6x6= 36
n2 tenho 2 elementos tendo um com 6 possibilidades o outro com 5 possibilidades (pois não temos reposição). Como a ordem não importa vamos usar a combinação = C 6,2 = 15
eu já faço direto 6x5/2!
sendo 6x5 ( pois o primeiro elemento tem 6 possibilidades e o segundo elemento tem 5 possibilidade por não haver reposição) e o 2! (pois como a ordem não é importante consigo permutar os dois elementos)
resposta: 36-15 = 21
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5kavurzka, também concordo, a questão na primeira vc pode misturar, já na segunda não, não faz sentido. E não considero que ao falar em aleatório está subentendido se faz diferença ou não, 1 e 2 ou 2 e 1, por exemplo.
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Tenho visto diversas questões comentadas de forma superficial por alguns professores. Considerando que um erro comum (meu inclusive) foi não ter considerado combinação na reposição, penso que a professora deveria ter comentado sobre o por que de se tratar de combinação e não arranjo.
Além disso, disciplinas como análise combinatória, além de normalmente apresentarem mais de uma forma de resolução, demandam mais interpretação do que outros conteúdos de matemática. Mais um motivo para respostas mais consistentes.
Outro ponto importante é a quantidade de "não gostei" em várias explicações. Isso confirma a falta de didática de alguns professores. Fica a dica ao QConcursos :)
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Gostaria de saber por que não pode ser feita na primeira uma combinação com repetição?
Entendi a resolução da questão, mas quero tirar essa dúvida.
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Acho que a questão esta muito mal redigida, dando a entender duplicidade, e 2 informações diferentes.
A ORDEM IMPORTA
SUPONDO QUE TEMOS 1,2,3,4,5,6 AMOSTRAS COM A ORDEM IMPORTANDO LOGO 1,2 É # DE 2,1
AMOSTRAS COM REPOSIÇÃO N1 - COMO VEMOS ABAIXO TEMOS AMOSTRAS,
1 - 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2 - 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3 - 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4 - 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5- 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6- 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
Não deixou implícito que a ordem importava, então teríamos que fazer a primeira vez, da forma que antedéssemos, e interpretar que a ordem importava, como eu fiz para resolver dessa forma, caso a ordem não importasse, teríamos 21 amostras excluindo as vermelhas, então temos n1 = 36 possibilidades
Seguindo outra lógica no raciocínio de N2, não podemos ter reposição, e a ordem não importa, temos que excluir as amostras 2-1 e 1-2, ai temos 15 amostras.
1 - 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2 - 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3 - 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4 - 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5- 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6- 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
Péssima questão da FCC total 36-15 = 21 possibilidades.
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n1= 6x6 = 36
n2= C6,2= 6!/4! 2!
6.5.4/4.2.1 = 15 daí ( n1-n2)= 36-15=21
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Questão mal formulada. Pois em um cálculo ele considera que a ordem importa e noutro ele considera que a ordem não importa.
Ao meu ver, as possíveis resoluções seriam essas:
A ORDEM IMPORTA: ( por exemplo {1,2} é diferente de {2,1})
Com reposição: 6x6 = 36 ( temos 6 possibilidades na primeira e 6 na segunda)
Sem reposição: 6x5=30 ( seriam 6 na primeira e 5 na segunda)
36-30 = 6 (RESPOSTA COM A ORDEM IMPORTANDO!)
A ORDEM NÃO IMPORTA ( POR EXEMPLO , {1,2} É IGUAL A {2,1})
Com reposição:
Nesse caso teria que fazer na mão {1,2,3,4,5,6}
1,1 2,1(descarta, pois é igual a 1,2)
1,2 2,2
1,3 2,3
1,4 2,4
1,5 2,5
1,6 2,6
3,1(descarta, pois é igual a 1,3)
3,2(descarta, pois é igual a 2,3)
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1 (descarta)
4,2(descarta)
4,3(descarta)
4,4
4,5
4,6
5,1(descarta)
5,2(descarta)
5,3(descarta)
5,4(descarta)
5,5
5,6
6,1(descarta)
6,2(descarta)
6,3(descarta)
6,4(descarta)
6,5(descarta)
6,6
Contando todas as possibilidades com reposição = 21
Sem reposição:
6!/ (2!4!) = 15 ( é a combinação de 6,2)
Resposta = 21-15 = 6 ( COM A ORDEM NÃO IMPORTANDO)
Se entendeu, deixe seu like!
Há braços!
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A meu ver a questão não tem gabarito correto.
Quando selecionamos uma amostra, a ordem dos elementos não importa (ex: selecionar o item A e o item B é o mesmo que selecionar o item B e o item A). Portanto, tanto no n1 quanto no n2 deveria ser usado combinação.
n1: já que haverá reposição, é possível que um elemento se repita, temos então a combinação completa:
Cc = 7!/(5!2!) = 21
n2: aqui nao tem reposição, logo, nao haverá elemento repetido, temos então a combinação simples:
C6,2 = 6!/(4!2!) = 15
Com isso a resposta seria 21 - 15 = 6.