OBS1: nessa questão, necessita usar de um conhecimento básico das propriedades matemáticas para julgar as proposições simples.
I. se k é um número par, então k^2 é um número par.
II. se k é um número ímpar, então k^2 é ímpar.
Perceba que, em ambas as proposições compostas I e II, a 1ª proposição simples "amarra" a segunda segundo conhecimentos básicos de matemática: o quadrado de um numero par é sempre par e um quadrado de numero impar é sempre impar.
Logo, as únicas combinações possíveis tanto na I quanto na II é V -> V = V ou F -> F = V. E o resultado de ambas da "Verdadeiro" para a proposição composta formada pelo "se...então", segundo a "tabuada lógica".
Apenas sabendo disso já dava pra responder, pois apenas a letra "E" considera mais de uma das proposições I,II,III e IV como correta.
Mas continuando mesmo assim:
III. se k ϵ Z e k^2 é par, então k é par.
IV. se k ϵ Z e k^2 é ímpar, então k é ímpar.
Nessas proposições compostas, perceba que existe a mesma "amarra" da primeira parte segundo os mesmos conhecimentos matemáticos - se k^2 for par então k é par ou se k^2 for impar k é impar. Vamos reescrever as proposições para facilitar:
III. (A ^ B) -> C
IV. (D ^ E) -> F
Na III, B está "amarrada" em C, ou seja, se B for verdadeira a C também será, e vice-versa, assim como se a B for falsa a C também será e vice-versa. O mesmo acontece entre a E e a F da IV. Assim posto, as combinações possíveis ficam assim:
III. (A ^ B) -> C
(V ^ V) -> V = V -> V = Verdadeiro
(F ^ V) -> V = F -> V = Verdadeiro
(V ^ F) -> F = F -> F = Verdadeiro
IV. (D ^ E) -> F
(V ^ V) -> V = V -> V = Verdadeiro
(F ^ V) -> V = F -> V = Verdadeiro
(V ^ F) -> F = F -> F = Verdadeiro
OBS2: perceba que é impossível a configuração V -> F, que é o que torna a proposição composta formada pelo "se...então" falsa.
E assim, concluímos que todas as proposições compostas I,II,III e IV são verdadeiras.