A função densidade descreve a probabilidade relativa de uma variável aleatória tomar um valor dado. É só lembrar da curva normal, que é o exemplo mais conhecido.
A área entre a curva da função densidade e o eixo x será 100% ou 1,00.
A "curva" em questão é uma reta que toca o eixo x (tempo t) em x=1 e o eixo y (f(t)) em y=2. A área do triângulo formado é 2*1/2 = 1 ou 100%. (aconselho fazer o gráfico da reta pra entender o resto da explicação)
A mediana fica no x que divide a área do triângulo em partes iguais (0,50 pra cada lado).
Por meio de semelhança de triângulos e sabendo que a área do triângulo menor formado é 0,5, tem-se:
(I) 2/y= 1/(1-x)
(II) y*(1-x) /2 = 0,5
Isolando em (I):
(1-x)= y/2
substituindo em (II):
y*y/2=1
y^2=2
y=1,4
(1-x)=1,4/2
x=0,3
Como a unidade de x é fração de hora, temos que 0,3*60min= 18 min
.
OBS: Errei quando resolvi, mas procurando a resposta desenvolvi esse raciocínio, não tenho certeza dele (mas que faz sentido faz).
A mediana é o valor do limite que, quando deduzido do limite superior, é igual a 0,5; ou que quando deduzido do limite inferior é igual a 0,5.
Limite da Mediana da Integral de f(x) - Limite inferior da Integral de f(x) = 0,5
Ou
Limite superior da Integral de f(x) - Limite da Mediana da Integral de f(x) = 0,5
Como nosso limite inferior é 0, é mais fácil usá-lo. Logo, Lim.Mediana = 0,5
∫ 2(1-t) dx -> 2 ∫ (1-t) -> 2 * t - t²/2 -> 2t - t²
-t² + 2t = 0,5 -> -t² +2t - 0,5 = 0. Fazendo Bhaskara (-b ± √Δ)/2a; Δ = b²-4ac
Δ = √ 2² - (4 * -1 * -0,5) -> √ 4-2 -> Δ = √2 -> 1,4, pelo exercício.
(-2 ± 1,4)/ -2 -> (2±1,4)/2 -> Raiz 1 = 0,3; Raiz 2 = 1,7. Como f(x) = 0 para x>1, x = 0,3. A mediana, portanto, é 0,3.
Transformando isos em minutos: 0,3 * 60 minutos = 18 minutos.