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Apanhei dessa questão, marquei a letra C, por considerar que pela posição central de x3 este teria uma distribuição normal (Teorema central do limite) com média = 0.5.
Testei uma solução numérica em python com 1 milhão de amostras:
import random as rnd
n = 1000_000
pop = [rnd.random() for k in range(n)]
x5_m = 0 # Conta quando x5 é menor que 0.5
medx3 = 0
for k in range(n):
am = sorted(rnd.sample(pop,5))
medx3 += am[2]
if am[4] < 0.5:
x5_m += 1
print(f"Das {n} amostras {x5_m} tiveram x[5] menor que 0.5, um percentual de {x5_m/n:.4%}")
print(f"Já x[3] teve valor médio de {medx3/n:.4%}")
Outuput:
Deixei o código no meu github:
https://github.com/rafaeldjsm/Matematica/blob/main/fgv2019_stat_df.ipynb
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Trata-se de uma questão de estatística de Ordem :
https://docs.ufpr.br/~lucambio/CE050/20182S/Ordem.pdf
No caso específico de Y1 e Y5 temos:
f(x) = 1
F(x) = x
Fy1(x) = n*f(x)*[1-F(x)]^(n-1) = 5*1*[1-x]^4 = 5.[1-x]^4
Fy5(x) = n*f(x)*[F(x)]^(n-1) = 5*1*[x]^4 = 5.x^4
Para o caso x<0,5.
fy5(X5<0.5) = 5*x^4
Integrando para achar a acumulada
Fy5(x) = x^5 = 0,5^5 = 0,03125 = 3,125%
Para f3(x) = 30.x^2*(1-x)^2
A E(f3(x)) é a integral de f3(x)*x:
E(f3(x)) = integral 30.x^3*(1-x)^2 = 30*(x^4/4-2*x5^5/5+x^6/6) = 30*(1/4-2/5+1/6) = 0.5
Logo, tanto a alternativa C quanto a E estão corretas.
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Acumulada: P(X<x) = F(x) = x (no caso da uniforme 0,1)
P max (x) = [F(x)]^n = x^n
P(x5 < 0,5) = (0,5) ^5 = 0,03125 = 3,125%