Questão 2951038

• Banca: FGV
• Órgão: DPE-RJ
• Ano: 2019
• Provas: FGV - 2019 - DPE-RJ - Técnico Superior Especializado - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Análise de séries temporais

Após uma análise sobre a série de tempo que reflete o volume de recursos envolvidos nos feitos em que a Defensoria Pública atua, verificou-se a existência de um processo do tipo MA(2). Adicionalmente, estimou-se essa equação que modela a série sendo dada por:

yt = k + 0,4·ε_t-2 + 0,2 · ε_t-1 + ε_t

Onde K é uma constante e ε_t um ruído branco, E(ε_t) = 0 e E(ε_t²) = σ²

• A. a média do processo é dada por
• B. a variância do processo é dada por Var(y_t) = 0,20σ² ;
• C. se as raízes do polinômio 0,4D² + 0,2D + 1 estiverem fora do círculo unitário, o processo será estacionário;
• D. a correlação entre y_t e y_t-2 é igual a 0,4 · σ²;
• E. a correlação entre y_t e y_t-1 é igual a 7/30.

Gabarito: E

Comentários

• Lembrando algumas propriedades. "x" e "y" são variáveis, "a" e "b" são constantes.

  1. E(a) = a
  2. E(a*x) = a*E(x)
  3. E(x + y) = E(x) + E(y)
  4. Var(a) = 0
  5. Var(x + a) = Var(x)
  6. Var(a*x) = a² * Var(x)
  7. Se x e y forem independentes, Var(x + y) = Var(x) + Var(y)
  8. Cov(x + a, y + b) = Cov(x, y)

  Para a notação ficar menos confusa, vou usar "w", "x", "y" e "z" para representarem ε[t], ε[t-1], ε[t-2], ε[t-3].

  ===

  Calculando a Variância do erro

  • Uma das fórmulas da variância é Var(x) = E(x²) - E(x)² = 0
  • O enunciado nos dá que E(εt) = 0 e E(εt²) = σ²
  • Logo, Var(ε) = E(ε²t) - E(εt)² -> σ² - 0² ->

  Var(ε) = σ²

  ===

  Calculando a Esperança do modelo

  Usando as propriedades 1, 2 e 3:

  • E(yt) = E(k + 0,4y + 0,2x + w) ->
  • E(yt) = E(k) + E(0,4*y) + E(0,2*x) + E(w)
  • E(yt) = k + 0,4E(y) + 0,2E(x) + E(w)

  Como sabemos que a esperança dos erros é igual a zero, podemos substituir "w", "x" e "y" por 0.

  • E(yt) = k + 0,4*0 + 0,2*0 + 0 ->
  • E(yt) = k

  ====

  Calculando a Variância do modelo

  O erro é ruído branco, e pelos a prioris no modelo, não se espera que os erros tenham autocorrelação. Ou seja, se parte do pressuposto que w, x, y, z são independentes entre si. Logo, podemos usar a propriedade 7.

  Usando a propriedade 5, 6 e 7:

  • Var(yt) = Var(k + 0,4w + 0,2x + y) ->
  • = Var(0,4w + 0,2x + y) ->
  • = Var(0,4w) + Var(0,2x) + Var(y) ->
  • = 0,4² * Var(w) + 0,2²*Var(x) + Var(y) ->
  • = 0,16*Var(w) + 0,04*Var(x) + Var(y)

  Sabemos que a variância do erro é igual a σ², logo podemos substituir w, x, y por σ²

  • Var(yt) = 0,16*σ² + 0,04*σ² + σ²

  Var(yt) = 1,2σ²

  =====

  Já eliminamos a e b, agora precisamos entrar na especificidade dos modelos temporais. O modelo de média móvel sempre será estacionário. "Estacionário" só quer dizer que o valor processo é finito e constante.

  ====

  Calculando a correlação de y[t] e y[t-1]

  • Desvio padrão: DP(x)² = Var(x).
  • Covariância: Cov(x,y) = E(xy) - E(x)E(y).
  • Correlação entre dois termos é dada por r = Cov(x,y) / DP(x)*DP(y).

  Representando x, y como y[t], y[t-1]

  Calculando o denominador:

  A variância e o Desvio padrão não mudam de um momento para outro, então:

  DP(x)*DP(y) = DP(x)*DP(x) = Var(x) = 1,2σ², como calculado anteriormente.

  Calculando E(xy) - E(x)E(y):

  Pela propriedade 8, podemos retirar "k" da fórmula, mantendo somente os termos dos erros.

  Como E(εt) = 0, E(x)E(y) = 0 * 0 = 0. Logo, a covariância será igual a E(xy):

  E(0,4y + 0,2x + w)(0,4z + 0,2y + x).

  Como E(εt) = 0, e como se supõe que os erros não sejam autocorrelacionados, os elementos cruzados de momentos diferentes serão iguais a 0 (E(w) = E(x) = E(y) = E(z) = 0), e os elementos cruzados de momentos iguais serão iguais a σ² (E(w²) = E(x²) = E(y²) = E(z²) = σ²).

  • E(0,4y + 0,2x + w)(0,4z + 0,2y + x) ->
  • 0,16yz + 0,08y² + 0,4yx + 0,08xz + 0,04xy + 0,2x² + 0,4wz + 0,2wy + wx ->
  • 0,08y² + 0,2x²
  • 0,08σ² + 0,2σ² = 0,28σ²

  E(xy) = 0,28σ²

  • Logo Cov(x,y) = 0,28σ²
  • DP(x)*DP(y) = 1,2σ²
  • r = 0,28σ²/1,2σ²
  • r(yt,yt-1) = 7/30.