Questão 2963605

• Banca: FGV
• Órgão: IBGE
• Ano: 2017
• Provas: FGV - 2017 - IBGE - Analista Censitário - Métodos Quantitativos
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Distribuição Uniforme; Principais distribuições de probabilidade

Sabe-se que o tempo de aplicação de um questionário em uma pesquisa de campo é uma variável com distribuição uniforme entre 8 e 20 minutos. Um entrevistador pretende aplicar três questionários.

Logo, é correto afirmar que:

• A. a probabilidade de que todas as entrevistas durem mais do que 15 minutos é de 27/64;
• B. a probabilidade de que duas das entrevistas durem mais do que a média é igual a 5/8;
• C. o desvio padrão do tempo de duração de cada entrevista é igual a 2 minutos;
• D. a probabilidade de que apenas uma das entrevistas leve menos da metade do tempo máximo é igual a 25/72;
• E. a probabilidade do tempo total de entrevista exceder 40 minutos é igual a 0,5.

Gabarito: D

Comentários

• P(a<=x<=b) = 1/(b-a)

  3 X( 2/12 X 10/12 X 10/12) = 25/72

• Distribuicao uniforme, logo f(x) = C (constante)

  Integral (de 8 a 20) f(x) dx = 1 --> C x (20-8) = 1 --> C = 1/12 - P(X) = x/12

  A) P(X>15) = C (20-15) = 5/12 --> 3 Entrevistas = (5/12)^3 = 625/1728

  B) O tempo médio = 14min --> P(X>14) = 6/12 = 1/2. P(2 x >14 e 1 < 14) =COmb(3;2) (1/2)^3 = 3/8

  C) Nao sei...

  D) P(X>10) = 10/12 = 5/6 --> P( 2>10 e 1<10 ) = Comb(3;2) (5/6)^2 x (1/6) = 3 x 25/216 = 25/72 - CORRETA

  E) P(X1+X2+X3 > 40)

  3x8 = 24 < P(x1+x2+x3) < 3x20 = 60 -- uiforme. Analogamente ao calculado inicialmente P(x1+x2+x3) = x/36

  P(X1+X2+X3 > 40) = 20/36 = 5/9

• Questão é uma combinação de Distribuição Uniforme com Análises de Probabilidade.

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  Primeiramente, vamos calcular o básico da Distribuição Uniforme:

  Máximo = 20

  Mínimo = 8

  E(X) = (Max + Min)/2 = (20 + 8)/2 = 14

  V(X) = (Max - Min)² / 12 = (12)^2 / 12 = 12

  F(X) = 1 / (Max - Min) = 1/12 ← essa é a parte mais relevante pra essa questão

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  A) Probabilidade de todas entrevistas durarem mais de 15 minutos (X > 15)

  Significa que elas podem durar de 15 a 20 = 5 minutos

  F(X > 15) = 5/12 ← é a probabilidade de uma entrevista durar mais de 15

  Para todas, calcula-se: 5/12 * 5/12 * 5/12 = 625/1.728

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  B) Probabilidade de duas entrevistas durarem mais que a média (X > 14)

  Significa que elas podem durar de 14 a 20 = 6 minutos

  F(X > 14) = 6/12 = 1/2 ← é a probabilidade de uma entrevista durar mais de 14

  Para duas, calcula-se: 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8

  Falta ainda multiplicar pelas diferentes combinações que elas poderiam gerar, que é basicamente "girar" a entrevista que dura menos na posição 1 e 2. Ou simplesmente calcular Combinação(3;2) = 3

  Assim, a probabilidade fica: 3 * 1/8 = 3/8

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  C) Variância já foi calculada de forma precipitada.

  Desvio Padrão = raiz(Var) = raiz(12) → definitivamente não é 2

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  D) Probabilidade apenas uma entrevista levar menos tempo que a duração máxima (X < 10)

  Significa que ela pode durar de 8 a 10 = 2 minutos

  F(X < 10) = 2/12 = 1/6 ← é a probabilidade de uma entrevista durar menos de 10

  Aqui seguimos a mesma ideia da Letra B: multiplica a probabilidade de Sim/Não/Não pela Combinação(3;2)

  Para apenas uma entrevista, temos: 1/6 * 5/6 * 5/6 = 25/216

  Combinação(3;2) = 3

  Assim, a probabilidade fica: 3 * 25 / 216 = 25/72 (Gabarito)

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  E) Probabilidade tempo total exceda 40 minutos (X > 40)

  Como a Distribuição é Uniforme, a alternativa basicamente está perguntando a Média Total

  Aqui basta multiplicar a Média Unitária pelo número de entrevistas = 3 * 14 = 42 minutos

• Achei bem legal a resolução dos colegas. Só resolveria a letra E) de outra maneira.

  A soma dos tempos das 3 entrevista precisa ser maior que 40 minutos.

  E a soma de n variáveis iid com distribuição uniforme ~ N(n*média_uniforme, n*variância_uniforme)

  P[Y>40] resolvendo com a distribuição normal.