Questão 3002611

• Banca: Marinha
• Órgão: CEM
• Ano: 2019
• Provas: Marinha - 2019 - CEM - Primeiro Tenente - Para todas as Engenharias
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Integral

Os campos F : R² → R² e G : R² → R² têm derivadas parciais contínuas em todo o plano e, para toda curva fechada, simples, derivável e percorrida no sentido anti-horário y :[0,1] → R², tem-se Φ_y F. dr = Φ_y  G .dr. Nessas condições, é correto afirmar que: 

• A. F(q) = G(q), ∀ q ∈ R²,
• B.  F - G é constante em todo o plano. 
• C. F - G é um campo conservativo. 
• D. O campo H(q) = F(q) - G(q) satisfaz H(q). q = 0, ∀ q ∈ R².
• E. O campo F é um múltiplo do campo G.

Gabarito: C

Comentários

• Quem tiver resolvido coloca obs por favor?

• Se a curva integral de linha fechada de F é igual a de G, então a integral de linha fechada de F-G = 0.

  Essa é a definição de campo conservativo.

  Logo, F-G é um campo conservativo.

• Alguém sabe responder o porquê de a A e a D estarem erradas?

• Alguém sabe responder o porquê de a A e a D estarem erradas?

  A) A função F(q) pode ser diferente de G(q) em R², o que não impede da integral de linha fechada de ser igual, pois a integral de linha depende do produto escalar da função com dr.

  B) F-G não necessariamente é constante em alguma direção diferente de dr em todo o plano.

• "Em , um campo vetorial conservativo é um que é o gradiente de um . Campos conservativos têm a propriedade de sua apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha." Assim, qualquer caminho F ou G entre dois pontos de r percorrido resulta do mesmo potencial, assim, F e G são campos conversativos.

• Curva fechada, simples, derivável e percorrida no sentido anti-horário = Teorema de Green

  integral dupla ( Fy/dx - Fx/dy ).da = integral dupla de ( Gy/dx - Gx/dy ). da

  (Fy - Gy)/dx - (Fx-Gx)/dy = 0

  logo,

  (Fy - Gy)/dx = (Fx-Gx)/dy (Condição para um campo ser conservativo)

  Logo,

  F - G é um campo conservativo.

• A) Não necessariamente seria isso, podem ser diferentes mas integrando dão os mesmos resultados. Mesma ideia de Trabalho, a componente paralela ao caminho que importa, então se a perpendidular for outra, não muda o valor (T=F.d.cos a).

  B) Não precisa ser constante, pode ser variável nas componentes perpendiculares ao caminho.

  C) Tirando as componentes paralelas, não haveria trabalho realizado pelo campo, portanto ele seria conservativo.

  D) F-G gera um campo perpendicular ao caminho, já que eliminou as componentes paralelas ao caminho (pensando em Trabalho novamente). Então se q pertence ao caminho, estaria certo, mas como diz que pode ser qualquer vetor genérico, então está errada.

  E) Não pode ser, pois o valor da integral de linha seria multiplicado também e tem que ser igual.

  Acho que é isso, mas posso estar errado. Eu penso que integral de linha é o mesmo que calcular trabalho, dessa forma fica mais visível.