SóProvas

ID
3002629
Banca
Marinha
Órgão
CEM
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

A equação diferencial linear y" + λ y = 1, com λ ∈ R, tem todas as soluções limitadas em R. Sendo assim, é correto afirmar que:

Alternativas
Comentários

  • Alguém pode me ajudar com essa questão, por favor? Já tentei por EDO não homogênea mas não consegui chegar na resposta do gabarito.

  • Faça a solução homogênea e verá que terá raízes complexas conjugadas. Para isto Lambda precisa ser >0. Por que queremos raízes conjugadas? Quando se tem raízes conjugadas a solução homogênea é do tipo Yh=e^at(C1cos(bt)+sen(bt)), para a raiz encontrada +-raiz(lambda) tiramos a=0 e b=raiz(lambda). Substituindo em Yh=e^0t(C1cos(raiz(lambda)t)+sen(raiz(lambda)t) pronto. Esta solução homogênea e limitada no eixo das ordenadas. E só foi possível quando Lambda e maior que 0. Qualquer um dos outros 2 casos resulta em exponencias e graficamente uma exponencial nao e limitada nas ordenadas. Veja no linka a função esperada limitada em Y. https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3De%5E0*%28sin+x+%2B+cos+x+%29

  • Tiago, agora entendi.. Eu não tinha atentado ao fato que as solução sao limitadas.

  • Acredito que esta questão foi digna de ser anulada. Mas como foi feita pela banca altamente especializada da Marinha ne. Não faz o menor sentido essa questao.

  • Tiago, portanto, diante da sua explicação, o enunciado está mal colocado, não sei como eles deveriam ter escrito isso, mas o fato de ter informado que as soluções estao limitadas em R, diga-se, o conjunto im (t) { - inf a + inf } ou + inf, ou - inf., isso deveria ter sido escrito no enunciado! Eles não definiram "exceto: R+ ou R-". Uma questão simplesmente pro candidato não ganhar ponto.

  • "Solução Limitada", ou seja y (t ->∞) = Limitada ≠ ∞

    I) Análise da EDO

    y" + λ y = 1 => É uma EDO NÃO HOMOGÊNEA. Como solucionamos? y(x) = yh(x) + yp(x).

    Pelo método de coef a determinar, vamos ver que o "1" pertence a família de uma constante - chamaremos de A.

    II) Determinando a yh e yp

    • i) Caso Homogêneo:

    Eq. Característica: r² + λ = 0 ; a=1, b=0, c=λ => Δ=-4λ

    • ii) Caso Particular:

    yp(x) =A => y'=0 ; y''=0

    • iii) Famoso substitui e iguala:

    0+λA=1 => A=1/λ

    III) Analisar os 3 casos de solução de uma EDO

    i) Δ>0 ; ii) Δ=0 ; iii) Δ<0

    Avaliando iii) Δ=-4λ < 0

    r = [+- sqrt(-4λ)] / 2 => r = +- 2/2 [sqrt (-1) . sqrt (λ)] => r = +- i sqrt (λ)

    Então o λ > 0 para satisfazer essa relação, safo? pois r = +- sqrt (-(λ>0)) => essa relação é < 0

    Temos que r = +- i sqrt (λ) , o alfa será 0 e beta será o raiz de λ ; Daí joga na solução do caso 3.

    y(x) = C1cos(sqrt (λ)x) + C2sen(sqrt (λ)x) + yp

    IV) Observe o cos/sen

    São funções que tem valores máximos e mínimos de 1 e -1, e como sabemos uma função limitada é quando é diferente de infinito, ou seja, realmente o λ > 0.

    Não sendo necessário analisar os outros casos, porém já sabemos que serão ILIMITADAS, ou seja vão explodir, indo para o INFINITO.