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Rapaz.. Eu consegui resolver esta questão, mas deu um trabalho gigante.
Não sei se tem um jeito mais fácil e não vejo sentido uma questão tão trabalhosa dessas numa prova de concurso.
Vou postar minha resolução no próximo comentário.
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Vamos lá:
1° → A PG é formada por (a1, a2, a3, a4). Vamos atribuir novas incógnitas para estes termos, só que no padrão de uma PG. Ficará assim (x, ax, a²x, a³x).
→ (a1, a2, a3, a4) = (x, ax, a²x, a³x)
2° → Sabe-se que a soma dos três primeiros termos é 86. Então temos:
x + ax + a²x = 86
sabemos que a2 = ax = -14, logo:
x + (-14) + a * (ax) = 86
x + (-14) + a * (-14) = 86
x - 14a = 100
3° → Descobrindo 'a':
ax = -14
x - 14a = 100
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ax = -14 I
x = 100 + 14a II
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Substituindo II em I:
a * (100 + 14a) = -14
14a² + 100a + 14 = 0
Fazendo Bháskara
50² - 4*7*7 =
2500 - 196=
2304
a' = -1/7 e a'' = -7
4° Descobrindo 'x':
Se ax = -14, então:
a1x1 = -14
(-1/7)*x1 = -14
x1 = 98
a2x2 = -14
-7x2 = -14
x2 = 2
5° Descobrindo qual dos dois 'x' encontrados é o correto:
Se -1 < a4 < 1, então:
I) -1 < a³1x1 < 1
-1 < (-1/7)*98 < 1
-1 < -(2/7) < 1 verdade
II) -1 < a³2x2 < 1
-1 < (-7)³2 < 1
-1 < -686 < 1 falso
7° Concluindo. Achar o produto:
Descobrimos que a = -1/7 e x = 98.
Queremos saber o produto dos 4 termos da PG, então:
P4 = (a1 * a2 * a3 * a4) = (x * ax * a²x * a³x)
P4 = a^6 * x^4
P4 = (-1/7)^6 * (98)^4
P4 = (-7)^-6 * 2^4 * 7^8
P4 = 784
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realmente a questão não é dificil, porém a resolução é muito trabalhosa.
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Eu fiz aqui na unha, e o resultado nem ao menos saiu exato, deu 783,96. Muito muito trabalhosa mesmo. Perdi mais de meia hora pra matar essa danada. Num concurso, eu pulava na hora essa aí. Mas aposto que há sim meios mais sutis de encurtar essa malandra.
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Pra ficar o mais rápido possível tem que lembrar de uma propriedade de PG onde cada termo a partir do segundo é igual a raiz do produto do seu antecedente e seu consequente.
Primeiro vamos definir que a pg é formada por: X, -14, Y, Z.
Assim:
-14=X.Y (eq.1)
A questão informa ainda que: 86=X+Y+(-14)
Dessa forma: 100=X+Y
Se isolamos algum desses (X ou Y) e substituimos na eq.1 encontramos uma equação quadrática
Y^2 - 100.Y + 196 (isolei o X)
Por bhaskara resulta que Y pode ser 98 ou 2.
Perceba que essas duas raízes possíveis iriam ser encontradas se tivesse isolado o Y.
Essas raízes atendem a informação no enunciado que a soma dos primeiros três termos é igual a 86
98+(-14)+2=86
Vou considerar que a ordem da pg é esta, visto que Z por estar entre -1 e 1, indica que a PG tem um sentido decrescente.
Assim, com 98, -14, 2, Z conseguimos encontrar a razão da PG= que é -1/7
Se multiplicarmos 2*(-1/7) obtemos o valor de Z=-2/7
Finalmente, ao multiplicarmos 98*(-14)*2*(-2/7) encontramos o resultado= 784.
Questão de concurso bem chatinha que precisa da propriedade para ser mais rápida.