-
Bom, esqueçamos, por enquanto, que pode haver duplicidade de caracteres. Se tivermos uma senha com 6 caracteres distintos, estamos falando de PERMUTAÇÃO. Então: P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 (guardemos este número) Agora, havendo uma única duplicidade de caracteres, continuamos falando de permutação, porém COM REPETIÇÃO. E como fazer isso? Para cada caractere repetido, nós utilizaremos o seu fatorial como denominador. Olhem como fica a fórmula:
Como só temos 1 caractere repetido, fica assim:
Como não sabemos qual caractere será repetido (pode ser qualquer um dos seis), então:
Qtde = 6 . 360 = 2160 Juntando com o valor guardado, encontramos 2160 + 720 = 2880. Então, o item está correto!
FONTA: http://beijonopapaienamamae.blogspot.com/2009/06/compartilhando-questoes.html
-
Analisando um pouco a questão não creio que seja um caso simples de Permutação com repetição, pois existem mais caracteres disponíveis do que há posições para encaixá-los na senha, isto é, no caso em que é permitida a duplicidade de caractere como foi enunciada a questão. Deixe-me explicar melhor como resolvi a questão.
Temos dois casos de preenchimentos:
- Todos os caracteres distintos: 6! = 720.
- Dois caracteres repetidos, sendo que os outro 5 caracters ocupam 4 posicoes na senha.
Nesse segundo caso, considerando que a letra U repete temos que a dupla ocorrência pode ser combinada de diferentes modos de acordo com as possíveis posições em que irá ocupar. Por exmplo, podemos ter:
* U U _ _ _ _
* U _ U _ _ _
* etc.
Esse conjunto de possibilidades corresponde a uma combinação C6,2 = 6!/2!(6-2)! = 15 apenas para a letra U. Considerando a repetição dos demais caracteres, essa possibilidade será de 6x15 = 90.
Além disso, existem quatro posições na senha que devem ser ocupadas distintamente por 5 caracteres cuja ordenação é relevante. Sendo assim, temos um arranjo A5,4 = 5!/(5-4)! = 120.
Dessa forma, todas as possibilidades em que há dois caracteres repetidos correspondem a 90x120 = 10.800 e somando-se aos 720 do primeiro caso, onde nenhum caracter se repete, temos: 10.800 + 720 = 11.520.
Portanto, a afirmativa deveria estar errada.
-
Amigos.
Fiquei em dúvida.
Qual seria a explicação correta?
-
Paulo Sérgio, o gabarito é CERTO (assim a 1º explicação tá correta)
eu fiz assim:
1) O usuário pode querer uma senha SEM REPETIR os elementos (P6=720) ou
2) O usuário pode querer uma senha COM REPETIÇÃO de 1 elemento. Esse fica assim:
P6(2) = 360 (como foi mostrado acima). Só que pode haver a repetição de qualquer um dos 6 elementos, pode ser:
U U
V V
W W
5 5
6 6
7 7
Por isso que se multiplica 360 por 6 = 2160.
RESPOSTA = 2160 + 720 = 2880
-
fico com a primeira resolucao!!
na resolução do Eduardo Viana ele multiplica duas vezes a mesma operação. quando vc faz um calculo de permutacao com repeticao, vc ja faz o calculo para as possiveis posicoes que o numero ou letra pode ficar. alem de vc ter feito isso ele ainda calculo em cima dos varios lugares que as variaveis podiam ocorrer!!
corrijam se eu estiver errado!
espero ter ajudado
bons estudos!
-
Concordo com o Eduardo Viana:
Sem repeticoes: permutacao simples: P6=6!=720
Repetindo U:
excluindo o 7: UUVW56 : P6,2=6!/2!=360
excluindo o 6: UUVW57 : P6,2=6!/2!=360
excluindo o 5: UUVW67 : P6,2=6!/2!=360
excluindo o W: UUV567 : P6,2=6!/2!=360
excluindo o V: UUW567 : P6,2=6!/2!=360
Portanto, são 360x5=1800 possibilidades somente com a repeticao do U.
Repetindo as outras letras, são mais 1800 possibilidade por cada:
Repetindo V: 1800
Repetindo W: 1800
Repetindo 5: 1800
Repetindo 6: 1800
Repetindo 7: 1800
Resultado: 6x1800+720=11520
-
A questão está errada!!
O erro dos que acham que acertaram é desconsiderar que, na medida que ele permite MAIS!!! uma repeticao, as combinações aumentam.
É diferente dizer que voce possui 6 casas para combinar 6 caracteres com 1 repetição
do que dizer que voce pode combinar em 6 casas 7!!!! caracteres com 1 repetição e é isso justamento o que pede a questão.
Veja também que ao repetir 2 caracteres em duas casas quaisquer voce continua com outras 5!!! opções para escolher nas quatro casas faltantes.
Portanto, os amigos dos 11520 estão corretos!!
-
Para confirmar a resposta de 11520, fiz um script em PHP para gerar todas as combinações possíveis:
Podem utilizar esse código em algum site que pode testar códigos em PHP, copiar o resultado para o Excel e usar a funcionalidade de remover registros duplicados para conferir a quantidade de registros.
<?php
echo '<pre>';
set_time_limit(0);
$possibilidades = array();
$a = array('V', 'W', 'U', '5', '6', '7');
function pc_permute($items, $perms = array(), &$possibilidades) {
if (empty($items)) {
$p = join('', $perms);
if(!in_array($p, $possibilidades)) {
$possibilidades[] = $p;
echo $p . "\n";
}
} else {
for ($i = count($items) - 1; $i >= 0; --$i) {
$newitems = $items;
$newperms = $perms;
list($foo) = array_splice($newitems, $i, 1);
array_unshift($newperms, $foo);
pc_permute($newitems, $newperms, $possibilidades);
}
}
}
pc_permute($a, array(), $possibilidades);
for($i = 0; $i < 6; $i++) {
for($j = 0; $j < 6; $j++) {
if($a[$j] == $a[$i]) {
continue;
}
$new = $a;
$new[$j] = $a[$i];
pc_permute($new, array(), $possibilidades);
}
}
?>
-
Possibilidades distintas: A(6,6) = 720
Possibilidades com a duplicação do U:
U na primeira casa e o outro U ocupando as outras: 5
U na segunda casa e o outro U ocupando as outras: 4
U na terceira casa e o outro U ocupando as outras: 3
U na quarta casa e o outro U ocupando as outras: 2
U na quinta casa e o outro U ocupando as outras: 1
Percebe-se que a 5+4+3+2+1= 15 possibilidades de posição para o U, e para cada uma delas os outros caracteres podem ser arranjados na forma:
A(5,4)= 120;
Sendo assim, para a duplicidade o U temos 15*120 = 1800 possibilidades;
Entedemos, assim, que para cada caractere a sua diplicação acarretará 1800 possibilidades.
Como temos 6 caracteres: 6 * 1800 = 10800 possibilidades;
Por fim, somando essas possibilidades dos caracteres duplicadas com as possibilidades dos caracteres distintos, obtemos:
10800 + 720 = 11520 possibilidades
Espero ter ajudado!
-
Fiz da seguinte maneira:
PARTE 1: Faça a permutação de 6! que dará 720 ,isso representa todas a permutações sem exigir que exista uma duplicidade.
PARTE 2:Considerando uma duplicidade agora temos uma PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO isso será 6!/2! (2 é pq é uma duplicidade, ou seja , repeti uma única vez).No entanto isso poderá ocorrer com 6 caracteres depende do qual for escolhida o seja terá que multiplicar por 3 então fica assim:6!/2!=360x6=2160 somando com 720 (PARTE 1) FICA = 2880
PRA CIMA DELES GALERA!!
-
Vamos precisar calcular o número de senhas com 6 dígitos distintos e depois o número de senhas com 1 dígito repetido. No primeiro caso temos a permutação simples dos 6 dígitos disponíveis: P(6) = 6! = 720
No segundo caso, cada senha de 6 caracteres será formada com o uso de apenas 5 dígitos (pois um se repete 2 vezes). Assim, para cada conjunto de 5 dígitos que escolhermos (ex.: U, V, 5, 6, 7) o número de senhas possíveis será dado pela permutação de 6 caracteres, com a repetição de 2:
(6;2) = 6!/2! = 360
Quantos conjuntos de 5 dígitos podemos escolher, tendo um total de 6 dígitos disponíveis? Ora, trata-se da combinação de 6 dígitos, 5 a 5:
C (6;5) = 6
Portanto, o número de senhas com 6 algarismo, com a repetição de 2, é dada por 6 x 360 = 2160. Ao todo, o número de senhas é: 720 + 2160 = 2880. Item CORRETO.
Fonte: Estratégia
-
De onde diabos saiu esse 360 ? :(
-
-
6 caracteres
Quantidade de senhas sem duplicidade
6 caracteres ---- 6 lugares para ser ocupado . Mesma quantidade de coisas e lugares = permutação!
P6= 6! = 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 720 senhas que o gerente pode cadastrar sem duplicidade
Quantidade de senhas com duplicidade
6 caracteres ---- 6 lugares ---- repetição de um caractere(2 vezes = duplicidade)
Mesma quantidade de coisas e lugares = permutação + repetição = permutação com repetição
P6² = 6!/2!= 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1/ 2 X 1 = 720/2 = 360 senhas com duplicidade para uma caractere apenas "U".Como são 6 caracteres que podem apresentar duplicidade 360 x 6 = 2160 senhas com duplucidade
O número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é?
2160 + 720 = 2880 senhas
-
Galera, essa resolução considerando P6! ta ERRADA.
Não se pode considerar P6!, porque um elemento ficou de fora da análise.
O certo é dar 11520.
-
Pensem em cada dígito da senha como se fosse uma cadeira em que se sentaria uma pessoa.
Inicialmente, deve-se contar quantas possibilidades existem sem repetir os dígitos ou pessoas. No primeiro assento podem se posicionar 6 pessoas ou dígitos (U,V,W,5,6 ou 7), no segundo 5 pessoas ou dígitos (todos exceto o escolhido na primeira oportunidade), e por aí em diante, já que nenhuma pode se repetir. Temos portanto 6x5x4x3x2x1= 720.
Posteriormente, conta-se quantas possibilidades existem repetindo os dígitos ou pessoas. Na primeira cadeira podem se sentar 6 pessoas (U,V,W,5,6 ou 7), na segunda (como é possível agora a repetição), também podem se sentar 6 pessoas (U,V,W,5,6 ou 7), na terceira 5, e por aí em diante, sem mais repetições. Temos, portanto, 6x6x5x4x3x2=4.320. Neste caso, já se encontra abarcada qualquer posição que qualquer dígito pode tomar. Percebe-se, entretanto, que dois dígitos se repetirão e serão exatamente os mesmos, o que faz com que metade dos arranjos sejam exatamente idênticos. Dividindo o número de combinações pela metade têm-se 4.320/2=2.160 possibilidades.
A soma das possibilidades, portanto, realmente é de 2.880. Gabarito CORRETO.
-
Questão bem complexa. O gabarito é realmente 2.880, mas queria entender como se chega. Em meu entendimento a questão deveria ser assim por pura lógica: Imagine que todos os caracteres pudessem ser repetidos, resolveríamos como? Por arranjo com repetição, Ar(6)= 6^6, ou seja, 6.6.6.6.6.6= 46.656. Só que aqui a questão só pede repetição de 1 qualquer, então a lógica(errada por sinal) deveria ser 6.6.5.4.3.2= 4.320.
Quando vejo as soluções para os 2.880 estão separando os cálculos "primeiro quero as senhas sem repetição", "depois com repetição", aí meu amigo, mistura tudo. O caso de arranjo com repetição em todas posições não se resolve separando as letras ou números, pois já estão dentro do cálculo. Tipo: "Primeiro quero as possibilidades com a letra U, depois V,..." Não, pois cada possibilidade está dentro da 6.6.6.6.6.6, então por que simplesmente não se resolve 6.6.5.4.3.2? Qual o erro?
-
CERTO.
1º Passo: Total de possibilidades com TODOS os caracteres distintos
Permutação Simples: 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 possibilidades.
2º Passo: Total de possibilidades considerando uma duplicidade de caracteres
Aqui faremos permutação com repetição, pois um dos elementos irá se repetir: 6! / 2! = 360
Atenção! Esse 360 se refere à possibilidade de 1 caractere se repetir uma única vez dentro da combinação. Como temos 6 caracteres que podem se repetir uma única vez: U, V, W, 5, 6 e 7, multiplicaremos esse 360 por 6.
360 x 6 = 2160 possibilidades.
3º Passo: Somar as possibilidades ( OU = SOMA)
TOTAL DE POSSIBILIDADES: 2160 + 720 = 2880
-
Resposta: CERTO.
Comentário do professor Daniel Araújo no YouTube:
https://youtu.be/oOZzhBD4VZs