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eq.1: h = b+2 ("sua altura relativa à base excede a própria base em 2 cm)
eq.2: x+x+b = 36 (perímetro de triângulo isósceles)
eq.3: h^2 + (b/2)^2 = x^2 (teorema de pitagoras)
da eq 2 temos: x = (36-b)/2, subistituindo isso e eq. 1 na eq. 3 temos
(b+2)^2 + (b/2)^2 = (36-b)^2 / 4 (equação do segundo grau com soluções b = 10 ou b = -32)
b é a base de um triângulo, logo a resposta (-32) não convém, portanto b = 10 (cm)
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Alguém explica passo a passo? Não consegui montar a equação do 2 grau...
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Da questão temos que:
2a + b = 36, que pode ser reescrita da seguinte forma: a = (36 - b)/2, que é a mesma coisa que
a = 18 - b/2 (1), sendo a os dois lados iguais do triângulo isósceles e b a sua base.
Temos também que:
h = b +2 (2), sendo h a altura do triâgulo em relação a sua base.
Se usarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado com o tracejado de h, teremos:
a² = (b/2)² + h² (3)
Assim, podemos substituir (1) e (2) em (3), com o que temos:
(18 - b/2)² = (b/2)² + (b + 2)²
Desenvolvendo os produtos notáveis da equação, temos que:
324 - 18b + b²/4 = b²/4 + b² + 4b + 4
Fazendo as devidas operações, chegaremos na seguinte equação do segundo grau:
b² + 22b - 320 = 0
Resolvendo por Bháskara, chegamos às raízes b= 10 e b=-32. Como a questão fala em medidas de comprimento, logo descartamos a raiz negativa e nossa resposta é 10cm, que está na letra D.
E para você que falava que nunca iria usar a Fórmula de Bháskara na vida para nada, está aí uma prova que vai usar ela sim: para passar no concurso ;P
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Fiz diferente, utilizando Pitágoras e aproximação.
Dividi o triângulo isósceles ao meio, formando dois triângulos retângulos.
Chamei a hipotenusa de L.
Chamei um cateto de B+2 (base mais dois, já que o enunciado traz que a altura excede a base em dois cm).
Chamei o outro cateto de B/2, já que dividi a base em dois para formar os dois triângulos retângulos.
Assim, usei o Teorema de Pitágoras:
L² = (B+2)² + (B/2)²
Desenvolvendo, teremos que
L = [(B√5)/2] + 2
Essa é a medida dos dois lados iguais. A medida da base é B.
Daí sabemos o perímetro, que é 36. Então:
[(B√5)/2] + 2 + [(B√5)/2] + 2 + B = 36
Desenvolvendo, encontraremos:
B = 32/(√5+1)
√5 é aproximadamente 2,2.
Utilizando essa aproximação, teremos que B = 32/3,2. Isso é igual a 10cm.