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Gabarito B
Resolução
Temos que f(K,L) precisa ser 6. Logo:
6 = raiz (K.L) => KL = 36
Precisamos saber qual a solução dessa equação que apresenta o menor custo, sendo que K e L são as variáveis e o custo de K sendo 4 e de trabalho sendo 1.
Vc vai acabar em um sistema de equações do tipo:
KL = 36
K/L = 1/4
Substituindo da primeira equação, temos que K = 36/L. Jogando na segunda equação:
(36/L)/L = 1/4 => 36/L = (1/4)L => 36/(1/4) = L^2
Logo 144 = L^2 => L = raiz (144) = 12
Portanto L = 12. Usando o valor na primeira substituição, temos que K = 36/12 = 3.
Assim, L = 12 e K = 3.
Logo, o custo mínimo é 12.1 + 3.4 = 12+12 = 24.
Portanto, o custo mínimo é 24, letra B.
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GAB: LETRA B
Complementando!
Fonte: Celso Natale - Estratégia
Perceba que essa função de produção é uma função Cobb-Douglas, afinal
É o mesmo que:
Que é o mesmo que:
- k^1/2 . L^1/2 -> função Cobb-Douglas
Portanto, sabemos, por causa dos expoentes, que, ao otimizar a produção, a empresa irá utilizar metade do seu orçamento para cada insumo, em outras palavras, metade do custo total será gasto com trabalho, e a outra metade com capital.
Sendo assim, temos também que o custo total terá a seguinte função:
Sendo que
Sabemos que a remuneração do trabalho é 1, então w=1, e a remuneração do capital é 4, então r=4: -> (Infornações da questão)
Então, quando há otimização:
Podemos, com isso, substituir “L” por “4K” na função de produção:
Fazendo a multiplicação de K por 4K:
Tirando a raiz quadrada:
Agora, como a questão quer saber o custo mínimo para produzir 6 unidades, Y deve ser 6:
E como L=4K:
Pronto! Temos tudo que precisamos:
- Quantidade de K: 3
- Remuneração de K: 4
- Quantidade de L: 12
- Remuneração de L: 1
Colocando isso na função de custo total, teremos nossa resposta da questão:
- CT = wL + rK
- CT = 1.12 + 3.4
- CT= 12 + 12
- CT = 24
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Fala pessoal! Professor Jetro Coutinho na área, para
comentar esta questão sobre Teoria da Produção.
Bom, a função de Produção de Produção Cobb-Douglas, no seguinte formato:
Y = K0,5.L0,5
Como tanto L quanto K estão elevados a 0,5, isso implica que a firma gastará metade do seu orçamento para K e a outra metade com L. Isto ocorre porque, somando os expoentes de K e L, teremos 1 (0,5 + 0,5 = 1). Pegando o expoente de K e dividindo por 1, temos: 0,5/1 = 0,5. Ou seja, 50% do orçamento da firma será gasto com K. Os demais 50%, com L.
O enunciado nos disse que o custo do capital (r) é igual a 4 e que o custo do trabalho (w) é igual a 1. Assim, usando a fórmula do Custo Total teremos:
CT = w.L +r.K
Só que, como a firma gasta 50% do seu orçamento com capital e 50% com trabalho, teremos:
w.L = 0,5CT
r.K = 0,5CT
Igualando, temos que:
w.L = r.K
Substituindo os valores do enunciado, temos:
1.L = 4.K
L = 4K
Como L = 4K, podemos substituir o L na função produção. Ficará assim:
Y = K0,5.(4K)0,5
Rearranjando a equação, temos:
Y = K0,5.40,5. K0,5
Assim:
Y = 2.K0,5.K0,5
Como temos a mesma base (K0,5), nós mantemos a base e somamos os expoentes. Assim:
Y = 2(K.)0,5+0,5
Y = 2(K)1
Y = 2K
A questão deseja saber o custo para 6 unidades. Assim, a quantidade total produzir é 6. E outras palavras, y = 6. Substituindo isso na equação anterior, temos:
Y = 2K
6 = 2K
K = 3
Agora só falta achar o L. Vimos anteriormente que L = 4K. Assim:
L = 4.(3)
L = 12
Basta, agora, substituirmos tudo na função Custo Total:
CT = w.L + r.K
CT = 1.12 + 4.3
CT = 12 + 12 = 24
Portanto, o Custo para produzir 6 unidades é de 24.
Gabarito do Professor: Letra B.