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Gabarito Letra E
A1=1 , a2=k ,
a3 =a1+a2 = 1 + k.
a4=a1+a2+a3= 2+2k
a5=a1+a2+a3+a4= 4+4k.
Percebe-se que o termo a4 é o dobro de a3 e que a5 é o dobro de a4...e assim sucessivamente.
a5=2*a4=4+4k.
a6=2*a5 ...
Então,desenvolvendo:a13=1024+1024k.
Como a13=6144 , temos que 6144=1024+1024k.
K=(6144-1024)/1024
K=5.
Editei meu comentário para detalhar para quem ficou com dúvida:
A partir do termo a3 ,o termo seguinte é sempre o dobro do termo anterior. Por exemplo,se a4=2*a3 ; a13=2*a12 ...
Posso escrever meu termo a13 em função de a3 sabendo que multiplicarei por 2 , 10 vezes.
A13=(2^10)*A3 = (2^10)*(1+1k)
2^10=1024 -> A13=1024+1024k.
Se ainda não ficou claro,de maneira simplificada:
A13=2*A12. Mas quem é A12? A12=2*A11
. A13=2*(2*A11)
Quem é A11? A11=2*A10...
Nessa brincadeira, chegaremos até A3 ,resultando na expressão geral acima
A13=(2^10)*A3.
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Pensei da seguinte forma: a soma do 1° e do último(13) = 6145 que é divisível por 5.
OU... o próximo numero divisível por 13 é o 6149 ou seja Somado +5 ao 13° termo.
Propriedades da P.A
Soma de termos equidistantes aos extremos é igual à soma dos extremos.
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JÁ EU NÃO PENSEI NADA!!!!
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Fui na soma humilde, testei o valor mais alto e depois num intermediário.
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Desculpem, não entendi. Esse 1024? Alguém pode me dizer como surgiu? rs
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Dá onde surgiu 1024 ?!?!!?
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Me resta rezar para que uma maldita dessas não caia numa prova que eu for fazer
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a1= 1
a2= k
a3= 1+k
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a4= 2+2K
a5= 4+4k = 2.2 + 2.2.k
a6= 8+8k = 2.2.2 + 2.2.2.k
...
a13= 2^10 + 2^10.k
obs. do a4 a a13 existem 10 elementos, por isso o 2^10
2^10 = 1024
Se o 13° termo é 6144, o valor de k é
1024+1024k = 6144
k=5
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A lógica é de sempre dobrar os número a partir da posição 3.
O número 6144 é 2 elevado a 11 vezes 3 e ocupa a posição 13.
A posição 12 é 2 elevado a 10 vezes 3 e ocupa a posição 12.
Sempre vai tirando assim e vamos chegar a posição 3, que é 2 elevado a 1 vezes 3.
Logo, a posição 3 é 6.
Então, sabemos que o número K + 1 = 6
Logo, K = 5.
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PARA CHEGAR NO 1024 (que o colega Victor Matheus e o professor Thiago Nunes citam nas explicações deles)
Se a4 = 2 + 2k
e
a5 = 4 + 4k
então:
a6 = 8 + 8k
a7 = 16 + 16k
a8 = 32 + 32k
a9 = 64 + 64k
a10 = 128 +128k
a11 = 256 + 256k
a12 = 512 + 512k
a13 = 1024 +1024k (sempre dobra o valor)
Eu fiz por dedução (alternativa por alternativa)
1, 5 (supondo que k seria 5), 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072, 6144
Realmente a partir da 4 posição sempre dobra o valor
@carol.nostribunais
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Teve que ser na raça mesmo, testando o maior e depois o intermediário, como um colega disse nos comentários.
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há ótimos comentários, bem detalhados até. Pra quem continuou com dúvidas, sugiro tentar refazer as contas na mão, na munheca, acompanhando os comentários.
Primeiro termo, a1= 1
a2 = k
A partir daqui, os próximos "a"s serão compostos pela soma dos "a"s anteriores - foi o q a questão nos disse.
a3 = soma dos "a"s anteriores. Logo, a3 = a2 + a1
Veja q a2 = k e a1 = 1
a3 = k + 1
E a4? é a soma das "s" anteriores. a4 = a3 + a2 + a1 = (k+1) + k + 1 = 2k + 2
a5 = somas dos "a"s anteriores. a5 = (2k + 2) + (k+1) + k + 1 = 4k + 4
A partir daqui já dá de perceber q o próximo "a" terá o "k" do "a" anterior mas multiplicado por 2
Perceba nos valores q achamos de a5 e a5
a5 = 4k + 4
a4 = 2k + 2
Se vc ainda não percebeu, olhe para o a5 da seguinte forma: a5 = 2*(k+1)
Só coloquei o dois em evidência.
Os próximos termos seguirão a mesma lógica, sempre o anterior multiplicado por 2
a6 = a5*2
a7 = a6*2
a8 = a7*2
.
.
a13 = a12*2 = (512k + 512)*2 = 1024k + 1024
Agora, basta igualar com o valor de a13 q nos foi dado e isolar o k
1024k + 1024 = 6144
k = 5
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A questão fala que o a1= 1 e o a2= k.
Do ''a3'' para frente, todos os termos serão o resultado da soma do termos anteriores:
a3= a1 + a2
a3= 1 + k = 1( k + 1)
a4= a1 + a2 + a3
a4= 1 + k + 1( 1+k)= 2( k + 1)
a5= a1+ a2 + a3 + a4
a5= 1 + k + 1(1 + k) + ( 1 + k + ( 1 +k)= 4( k + 1 )
a6= a1 + a2 + a3 + a4 + a5
a6 = 8( k+1)
Percebe-se que a partir do ''a3'' dobra a quantidade de ''k+1'', isto é, uma P.G de razão ''2'.
Então, precisa-se saber quantos ''k+1'' vão ter no ''a13''.
Como é a partir do ''a3'' que começa dobrar os ''k+1'', então é daqui que devemos considerar a quantidade de termos.
a3-a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10-a11-a12-a13= tem 11 termos e dobrou 10x.(a3-a4 dobrou 1; do a4-a5 dobrou 2......a12-a13 dobrou 10).
Vamos aplicar na P.G:
an= a1. q^n-1.
an= termo que eu quero saber que 11º termo que é o ''a13''.
a1= é o primeiro termo da nossa P.G que é o ''1'' do 1(k+1).
q= é a nossa razão que é ''2'' porque dobra a quantidade de ''k+1'' a cada termo.
11º= 1. q^11-1
11º=1. 2^10
11º= 1024
então no nosso 11º termo, isto é, ''a13'', teremos 1024(k+1).
Agora, é só substituir.
a13= 1024(k+1)
6144= 1024 + 1024k
6144-1024= 1024k
5120=1024k
5120/1024=k
5=k
Galera, parece um monstrinho, mas isso é prática. Todo mundo que conseguiu resolver essa não conseguiu resolver várias até chegar a acertar.
Deus os abençoe.
Bons estudos.
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Percebe-se que do A3 em diante é sempre o dobro, logo, é só pegar o valor de A13 = 6144 e ir dividindo por 2 (são divisões rápidas e simples).
Quando chegar no resultado A3 = 6 está resolvido,
A1 = 1
A2 = k
A3 = 1 + k
Sabemos que A3 é 6, então substituindo achamos K = 5
"Não é força, é jeito, desloca o goleiro"
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DEUS ME LIVRE
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Essa é aquela pra voce nao deixar em branco..
Não, pera...
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essa é aquela que fica por último, quando você levanta pra tomar uma água, passa o gabarito... e vai roendo
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A1=1
A2=k
A3=A1+A2=1+K
A4=A1+A2+A3=2+2K
A5= . . . = 4+4k
A6= . . . = 8+8K
A7= . . . = 16+16K
A8= . . . = 32+32K
A9= . . . = 64+64K
A10= . . . = 128+128k
A11= . . . = 256+256K
A12= . . . = 512+512k
A13= . . . = 1024+1024K
Diminui o primeiro, pois quer o valor de "K".
6144-1024=5120
Divide-se o resultado por "K"
5120/1024= 5
Tem uma pegadinha pro caso de alguém esquecer de diminuir, colocaram como opção de resposta.
Boa Sorte para todos nós!
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Pessoal, acho que a dificuldade maior da questão está em entender o enunciado (pra mim pelo menos). Então, lá vai!
Dicionário: a = número e n = posição
an = an − 1 + ... + a1
Lendo isso em português: o número da posição atual (an) é igual ao número da posição atual menos uma posição (número da posição anterior) (an - 1) mais os números anteriores até chegar na primeira posição (+ ... + a1).
Passando para a linguagem matemática e fazendo o terceiro termo: a3 (número da posição 3) = K + 1 (k = número da posição anterior; + 1 =números das posições anteriores).
a1= 1
a2 = K
a3 = K+1
a4 = (K+1)+ K + 1
Minha dica (de quem tem muita dificuldade com matemática) é escrever "na raça" as primeiras sequências até vc perceber um padrão para conseguir chegar ao resultado de alguma forma.
Qualquer erro, me avisem! :)