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É possível atacar o problema de um outro ângulo. Podemos obter inicialmente o número total de possíveis duplas que podemos formar com 8 jogadores e diminuir do número de possíveis duplas que podemos com 8 jogadores em que os dois canhotos estão necessariamente no mesmo time.
Para isso, nos concentramos inicialmente no número de possibilidades total, esta é obtida multiplicando as combinações C8,2*C6,2*C4,2*C2,2 e dividindo por 4! a fim de desconsiderar as permutações das duplas, uma vez que, por exemplo, a possibilidade AB CD EF GH e GH EF CD AB são a mesma coisa, pois as duplas são as mesmas. Se às duplas fossem dados rótulos como cores ou números, as permutações resultariam em diferentes possibilidades, o que não é o caso. De todo modo, efetuando a divisão, ficamos com 105 possibilidades no total, com canhotos juntos e separados.
Para obter as possibilidades de de obter duplas com canhotos juntos, ficamos os dois canhotos na mesma dupla e esquecemos deles. Feito isso, restam outros 6 jogadores destros para se trabalhar. Logo, devemos obter o número total de duplas possíveis que podem ser formadas utilizando os 6 jogadores restantes. Estas são dados por, (C6,2*C4,2*C2,2)/3! .Dividimos agora por 3!, uma vez que estamos desconsiderando a permutação de apenas 3 duplas. Com isso, obtemos 15 possibilidades de duplas formadas a partir de 8 jogadores em que 2 desses são canhotos e estão necessariamente no mesmo time.
Por fim, basta diminuir o número total de possibilidades pelo número de possibilidades em que os canhotos estão necessariamente fixados no mesmo time e então obtemos o número de possibilidades em que eles não estão no mesmo time. Ficamos então com 105 - 15 = 90
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Alguém pode, por favor, me ensinar? Não entendi a explicação da pessoa abaixo.
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( C1,D1) (C2, D2)(D3, D4) (D5, D6)
Se Trocarmos o local dos pares de destros teremos:
( C1,D1) (C2, D2)(D5, D6) (D3, D4)
O que da no mesmo,logo dividiremos o resultado por 2.
Os canhotos sao fixos.
C6,1 x C5,1 x ( C4,2 x C2,2 )/2
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São oito jogadores, sendo dois canhotos (C) e seis destros (D): C1 C2 D1 D2 D3 D4 D5 D6
Primeira dupla: C1 6 (Observe que eu posso escolher entre seis destros, logo eu tenho seis possibilidades)
Segunda dupla: C2 5 (observe que só me restaram cinco destros, logo eu tenho cinco possibilidades)
Terceira dupla: D1 3 (Observe que quando eu vou formar essa dupla, ambos são destros, logo se eu pegar um destro, só me restam 3 para formar a dupla)
Quarta dupla Aqui eu só tenho 1 possibilidade uma vez que restaram apenas dois jogadores para formar a dupla.
RESULTADO: 6 X 5 X 3 X 1 = 90 LETRA C
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Letra C
6 x 2 x 5 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1/2 x 2 x 2 x 2 = 90
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São DUPLAS, então é só organizar nos tracinhos (PFC) e ver como fica a divisão SEM CANHOTO COM CANHOTO:
6 * 2
C D
5 * 1
C D
4 * 3
D D
2 * 1
D D
Retirando as repetições:
São dois tipos de repetições no caso:
I ) Repetição envolvendo dupla canhoto com destro e dupla destro com destro
II ) Envolvendo as posições dos jogadores DD DD (porque não importa a ordem, daniel e douglas é a mesma dupla que douglas e daniel)
6*2*5*1*4*3*2*1/ 2*2*2*2 = 90
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Muito complexa essa questão, uma dica, pula ela, pois com certeza o tri dela vai ser baixo e é perigoso você até diminuir a média por conta dela ( muita gente errou) não é bom perder tempo tentando acertar essa ( a não ser que você já tenha respondido todas as fáceis).
Bons estudos!!
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https://www.youtube.com/watch?v=1IsPwQOSio4 uma resolução bem explicada
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8 amigos
2 canhotos
4 duplas
Nenhuma dupla pode ser formada por 2 canhotos (restrição)
Observação 1: vamos chamar os amigos de A, B, C, D, E, F, G e H, sendo A e B os canhotos.
Observação 2: lembre-se que NÃO importa a ordem! A dupla A + C é a mesma dupla se escrevêssemos C + A.
Maneiras diferentes de formar essas 4 duplas:
Dupla 1: A * 6 opções de parceiro (dos 8 amigos, A não pode formar dupla com ele mesmo e nem com B, então sobram 6 opções de parceiros possíveis)
A + C ---> vamos supor que essa foi a dupla formada.
A + D
A + E
A + F
A + G
A + H
Dupla 2: B * 5 opções de parceiro (dos 8 amigos, B não pode formar dupla com ele mesmo, nem com A e nem com o parceiro de A, então sobram 5 opções de parceiros possíveis)
B + D ---> vamos supor que essa foi a dupla formada.
B + E
B + F
B + G
B + H
Dupla 3: 3 possibilidades
E + F ---> vamos supor que essa foi a dupla formada
E + G
E + H
Dupla 4: 1 possibilidade
G + H
6 * 5 * 3 = 90 possibilidades
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Achei essa resolução a mais simples.
https://www.youtube.com/watch?v=lya1FpZnXT8
C 6; C 5; C3; C1 = 90 possibilidades
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Ferreto Matemática https://www.youtube.com/watch?v=1IsPwQOSio4
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Essa questão requer que o aluno tenha alguma familiaridade com problemas de pareamento em combinatória - doutro modo, é bem improvável que você descubra o número de pareamentos de um número par de pessoas em tempo hábil durante o Enem. Mas, enfim, vamos a solução:
- O números de pareamentos que 8 pessoas podem compor é: C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/(4!) - explicação: https://math.stackexchange.com/questions/532542/there-are-10-different-people-at-a-party-how-many-ways-are-there-to-pair-them-o
- O números de pareamentos que contém os dois canhotos num par é C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/(3!). - aqui, pegamos os dois canhotos e jogamos os 2 para fora; resta-nos parear os 6 restantes.
Subtraindo esses 2 casos, temos o número de pareamentos que não contém os 2 canhotos num par:
C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/(4!) - C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/(3!) = 90
Poderíamos até simplificar um pouco essa questão usando coeficientes multinominais - facilita um pouco a interpretação, mas as contas são a mesmas.
De modo geral, o coeficiente multinominal "multinomial[a,b,c]" conta o número de maneiras de particionar um conjunto de a+b+c elementos distintos em um conjunto de a elementos, outro de b elementos, e um de c. No final, resposta seria:
multinomial[2,2,2,2]/(4!) - multinomial[2,2,2]/(3!) = 90.
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Restrição que o exercício deu: não pode ter uma dupla com dois canhotos. Precisamos organizar as pessoas de cada dupla e contar as possibilidades que elas tem.
Pessoas: A (canhoto), B (canhoto), C, D, E, F, G e H
Dupla 1: o A pode ficar com:
A - C; A - D; A - E; A - F; A - G e A - H (o A tem 6 possibilidades. Suponha que ele escolheu o C).
Dupla 2: o B pode ficar com:
B - D; B - E; B - F; B - G e B - H (o B tem 5 possibilidades, pois o A vai escolher uma pessoa de suas 6 possibilidades. Suponha que ele escolheu o D).
Dupla 3: o E pode ficar com:
E - F; E - G e E - H (o E terá 3 possibilidades, já que o B escolherá alguém de suas 5 possibilidades. Suponha que ele escolheu o F).
Dupla 4: o G poderá ficar com:
G - H (apenas 1 possibilidade, pois o E escolheu alguém de suas 3 possibilidades, restando apenas 1 para o G).
Dessa forma, 6 • 5 • 3 • 1 = 90 possibilidades no total.
Alternativa C.
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(Pessoal, dêem joinha pra ele ver!)
Ferreto, também sou professor de matemática.
O que acha dessa solução?
Formando duplas sem pensar na restrição dos canhotos:
Escolha da primeira dupla: C_8,2 = 28
Escolha da segunda dupla: C_6,2 = 15
Escolha da terceira dupla: C_4,2 = 6
Escolha da quarta dupla: C_2,2 = 1
Pelo princípio multiplicativo: 28 x 15 x 6 x 1 = 2520
Porém, não existe uma "primeira" dupla, uma "segunda" dupla, etc... pois a ordem das duplas não importa! Então vamos dividir por 4! = 24 (ordenação das quatro duplas).
2520 / 24 = 105
Agora, vamos fazer o que é proibido. Vamos imaginar que formamos a primeira dupla justamente com os dois canhotos e vamos escolher as duplas restantes:
Escolha da segunda dupla: C_6,2 = 15
Escolha da terceira dupla: C_4,2 = 6
Escolha da quarta dupla: C_2,2 = 1
Pelo princípio multiplicativo: 15 x 6 x 1 = 90
Porém, ao escolhermos essas três duplas, consideramos uma ordem que não existe. Logo, vamos dividir esse resultado por 3! = 6 (ordenação dessas três duplas formadas).
90 / 6 = 15
Para finalizar, só falta subtrair todas as possibilidades daquelas que são proibidas.
105 - 15 = 90
Alternativa c
SOLUÇÃO RETIRADA DOS COMENTÁRIOS DO VÍDEO: https://www.youtube.com/watch?v=1IsPwQOSio4&t=415s --> Cristiano Guerra
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já fiz essa questão várias vezes mas continuo errando-a.