Fala pessoal! Tudo beleza? Professor Jetro Coutinho na área, para comentar esta questão sobre teoria da produção.
Esta questão possui termos bem técnicos, comuns para quem é formado em Economia (a prova foi aplicada apenas para bacharéis em ciências econômicas), mas que podem assustar quem não é economista e está fazendo esta questão apenas para treinar.
De qualquer forma, o que a questão pede é lucro máximo da firma em questão. Sabemos que afirma maximizar o lucro quanto a receita marginal é igual ao custo marginal (rmg = cmg). Então, seguimos nessa linha de encontrar rmg e cmg e igualar os dois.
Bom, a função Y (x2 - x3/30) nos dará o tanto que esta firma produz do bemy. Em outras palavras, ela nos dará a quantidade produzida.
Como Receita Total = PreçoxQuantidade, podemos substituir Y na quantidade e ao preço de y a questão já nos deu. Ficará assim:
RT = P.Q
RT = Py.Y
RT = 30( x2 - x3/30)
RT = 30x2 - 30x3/30
RT = 30x2 - x3
Derivando a RT (regra do tombo), teremos:
Rmg = 60x - 3x2
Encontramos a Rmg. Falta agora o Cmg. O Custo Marginal é o tanto que o custo total aumenta quando aumentamos a produção. Para produzir mais, precisamos de mais insumos. Ocorre que a questão nos disse que o estoque de capital é fixo. Assim, só podemos mexer no outro insumo variável. E a questão nos deu o custo do insumo variável, que é de 100. Em outras palavras, para produzirmos uma unidade a mais, precisaremos de mais uma unidade do insumo variável. E o preço deste insumo (100) será justamente o nosso custo adicional para produzir uma unidade a mais. Assim, Cmg = 100.
Igualando Rmg e Cmg, temos:
Rmg = Cmg
60x - 3x2 = 100
-3x2 +60x - 100 = 0
Estamos diante de uma função de segundo grau, precisamos usar a fórmula de Bhaskara, achar o delta e encontrar as raízes da equação.
O delta será: b2 - 4.a.c
Assim:
Delta= 602 - 4.-3.-100
Delta = 3600 - 1200 = 2400
Agora, vamos encontrar as raízes. (lembre que 2400 elevado a 1/2 é a mesma coisa que raiz quadrada de 2400. Além disso, a questão nos disse para usar 48 como raiz de 2400).
Xi = (-b +24001/2)/2.a
xi = (-60+48)/2.-3
Xi = -12/-6 = 2
xii = (-b -24001/2)/2.a
Xii = (-60-48)/2.-3
Xii = -108/-6 = 18
Portanto, a firma pode produzir X = 2 ou X = 18, pontos que igualam a Rmg ao Cmg. Mas qual dos dois pontos precisamos adotar? Repare no gráfico abaixo:
No gráfico acima, vemos que a Rmg (linha laranja) é igual ao Cmg (linha azul) em dois pontos: A e B. No entanto, no ponto A a firma produz menos e, no ponto B, ela produz mais. O equilíbrio se dará no ponto de maior produção (ponto B).
Isso acontece porque se a empresa produzir mais que A, mas menos do que B, ela estará num lugar onde a Rmg é maior que o Cmg e, portanto, o lucro dela aumenta. Assim, se a empresa produzir mais do que A, ela aumentará seu lucro e, portanto, A não pode ser o ponto de lucro máximo.
No entanto, se a firma produzir mais que B, o Cmg ficará maior que a Rmg e ela terá prejuízo. Portanto, o ponto B é o lucro de máximo.
Assim, enquanto o ponto B é o lucro máximo, o ponto A é o lucro mínimo.
Com os dados da questão (X = 2 ou X = 18), temos uma situação parecida: X = 2 será o ponto de lucro mínimo, enquanto que X = 18 representará o ponto de lucro máximo.
Assim:
A) Correta. Quando X = 18, o lucro é máximo.
B) Incorreta. O lucro mínimo ocorrerá quando X = 2.
C) Incorreta. Estamos no curto prazo (já que o capital é fixo e o outro insumo é variável). Quando estamos no curto prazo, a produtividade marginal do fator variável cresce, depois decresce e se torna negativa. Ou seja, a produtividade marginal não é sempre positiva.
D) Incorreta. No lucro máximo, a Rmg = Cmg. Como Cmg = 100, a Rmg será igual a 100 também.
Ps: se você substituir X = 18 na fórmula do Rmg, vai encontrar o valor de 108, mas esse valor está errado porque usamos uma aproximação para raiz quadrada de 2400 (usamos 48 porque a questão pediu, mas a raiz quadrada de 2400 é quase 49, o que impacta nos valores de X a serem encontrados).
E) Incorreta. O lucro é a diferença entre Receita Total e Custo Total. Se o lucro for máximo, a diferença entre Receita Total e Custo Total é máxima.
Gabarito do Professor: Letra A.