qd = 100 - p = passando p pro outro lado e q pro outro: (1) p = 100 - q
(2) Receita total = q x p = q x (100 - q) = 100q - q^2
(3) Custo total = 10 + q^2
igualando (2) e (3) = 100q - q^2 = 10 + q^2, e fazendo uma derivada:
100 - 2q = 2q
4q = 100
q = 25
Pegando o valor de q=25 e colocando em (1):
p = 100 - q
p = 100 - 25
p = 75
Resposta: q = 25 e p = 75
Questão prática de maximização de lucro do monopolista, tema de microeconomia.
Vamos resolver o exercício:
>> Em qualquer estrutura de mercado, o lucro da firma é maximizado quando receita marginal (RMg) se iguala ao custo marginal (CMg). A receita total (RT) é dada pela multiplicação do preço e quantidade, porém precisamos antes transformar a equação de demanda fornecida em demanda inversa (isto é, isolar o preço):
Qd = 100 - p
p = 100 - Q
RT = p * Q
RT = (100 - Q) * Q
RT = 100Q - Q2
>> Vamos derivar a receita total em relação à quantidade para encontrar a receita marginal:
RMg = RT'
RMg = 100 - 2Q
>> Com a receita marginal disponível, precisamos, agora, encontrar o custo marginal que nada mais é do que a derivada do custo total fornecido pelo enunciado:
CMg = CT'
CMg = 2q
>> Basta igualarmos receita marginal e custo marginal, lembrando que, como se trata de monopólio, uma única empresa oferta toda a quantidade, então q = Q.
RMg = CMg
100 - 2q = 2q
4q = 100
q = 25
>>Por fim, vamos substituir a quantidade encontrada na equação de demanda inversa para encontrar o preço:
p = 100 - Q
p = 100 - 25
p = 75
Portanto, q = 25 e p = 75 maximizam o lucro do monopolista.
Gabarito do Professor: Letra E.