-
CT = 60000 + 230q + 5q^2
Cmg = 230 + 10q
P = 5000 - 40q
R = P x Q
R = 5000q - 40q^2
Rmg = 5000 - 80q
Cmg = Rmg
230 + 10q = 5000 - 80q
90q = 4770
q = 53
-
O que precisamos fazer aqui é igualar custo e receita marginais.
De posse da função do custo total, derivamos e obtermos o custo marginal. A função Custo Total é a seguinte:
CT=5Q^2+230Q+60000
Aplicando a regra do tombo, o expoente “tombará” e passará a multiplicar todo o termo. Lembre que quando não temos nada em cima do Q, o expoente é 1. Já o +60000, por ser uma constante, simplesmente sumirá do cálculo. Assim:
Cmg=5.2Q^2+1.230Q
Agora, vamos subtrair 1 unidade do expoente, completando a derivada:
Cmg=5.2Q^(2-1)+1.230Q^(1-1)
Fazendo as contas, teremos:
Cmg=10Q^1+230Q^0
Como todo número elevado a 0 é igual a 1, temos:
Cmg=10Q+230
A receita marginal nós podemos obter através da função de demanda, embora dê mais trabalho:
P = 5.000 – 40Q
Temos o valor de P dado em função de Q.
Se multiplicarmos preço por quantidade, achamos a receita total:
RT = P.Q
RT = (5.000 – 40Q).Q
RT = 5.000Q – 40Q²
Então, derivamos a função de receita total em relação à quantidade para obtermos a receita marginal. A função Receita Total é a seguinte:
RT=-40Q^2+5000Q
Aplicando a regra do tombo, o expoente “tombará” e passará a multiplicar todo o termo. Lembre que quando não temos nada em cima do Q, o expoente é 1. Assim:
Rmg=-2.40Q^2+1.5000Q
Agora, vamos subtrair 1 unidade do expoente, completando a derivada:
Rmg=-2.40Q^(2-1)+1.5000Q^(1-1)
Fazendo as contas, teremos:
Cmg=-8〖0Q〗^1+5000Q^0
Como todo número elevado a 0 é igual a 1, temos:
Rmg=-80Q+5000
Por último, igualamos custo marginal e receita marginal para acharmos a quantidade Q que maximiza o lucro:
Cmg = Rmg
230+10Q = 5.000-80Q
90Q = 4.770
Q = 53
Resposta: B
-
DADOS DA QUESTÃO
P = 5000 – 40q
Rt = 5000q – 40q^2
Rmg = 5000 – 80q
Ct = 60.000 + 230q + 5q^2
Cmg = 0 + 230 + 10q
MAXIMIZAÇÃO DO LUCRO
Lucro = Rt – Ct
Lucro’(q) = Rt’(q) – Ct’(q)
Lucro máximo: Lucro’(q) = 0
0 = Rt’(q) – Ct’(q)
Rt’(q) = Ct’(q)
Rmg = Cmg (regra da maximização em qualquer caso)
5000 – 80q = 0 + 230 + 10q
4770 = 90q
q = 53
GABARITO: B
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Obs.: lembrando que:
DERIVAÇÃO E TOTAIS MARGINAIS
Teorema dos limites: f’(x) = lim (h→ 0) ∂y / ∂x = ∆y / ∆x = { y(x+h) – y(x) } / (x + h – x)
Ponto extremo da curva: f’(x) = 0
Rmg = ∂Rt / ∂q = ∆Rt / ∆q
Cmg = ∂Ct / ∂q = ∆Ct / ∆q
Bons estudos!
-
Jetro Coutinho e Paulo Ferreira | Direção Concursos
11/03/2020 às 22:49
O que precisamos fazer aqui é igualar custo e receita marginais.
De posse da função do custo total, derivamos e obtermos o custo marginal. A função Custo Total é a seguinte:
CT=5Q^2+230Q+60000
Aplicando a regra do tombo, o expoente “tombará” e passará a multiplicar todo o termo. Lembre que quando não temos nada em cima do Q, o expoente é 1. Já o +60000, por ser uma constante, simplesmente sumirá do cálculo. Assim:
Cmg=5.2Q^2+1.230Q
Agora, vamos subtrair 1 unidade do expoente, completando a derivada:
Cmg=5.2Q^(2-1)+1.230Q^(1-1)
Fazendo as contas, teremos:
Cmg=10Q^1+230Q^0
Como todo número elevado a 0 é igual a 1, temos:
Cmg=10Q+230
A receita marginal nós podemos obter através da função de demanda, embora dê mais trabalho:
P = 5.000 – 40Q
Temos o valor de P dado em função de Q.
Se multiplicarmos preço por quantidade, achamos a receita total:
RT = P.Q
RT = (5.000 – 40Q).Q
RT = 5.000Q – 40Q²
Então, derivamos a função de receita total em relação à quantidade para obtermos a receita marginal. A função Receita Total é a seguinte:
RT=-40Q^2+5000Q
Aplicando a regra do tombo, o expoente “tombará” e passará a multiplicar todo o termo. Lembre que quando não temos nada em cima do Q, o expoente é 1. Assim:
Rmg=-2.40Q^2+1.5000Q
Agora, vamos subtrair 1 unidade do expoente, completando a derivada:
Rmg=-2.40Q^(2-1)+1.5000Q^(1-1)
Fazendo as contas, teremos:
Cmg=-8〖0Q〗^1+5000Q^0
Como todo número elevado a 0 é igual a 1, temos:
Rmg=-80Q+5000
Por último, igualamos custo marginal e receita marginal para acharmos a quantidade Q que maximiza o lucro:
Cmg = Rmg
230+10Q = 5.000-80Q
90Q = 4.770
Q = 53
Resposta: B