Tem-se que 5 indivíduos têm idades, em anos, correspondentes aos números inteiros a1, a2, a3, a4 e a5.
É informado que:
a) a1, a2 e a5 estão em PG, com soma = 26.
e
b) a1, a3 e a4 estão em PA, com razão = 6 e soma = 24.
Vamos resolver uma por uma. Vamos logo para a questão do item "b" que está mais fácil. Assim, temos que 3 termos estão em PA (a1, a3 e a4), cuja razão é 6 e cuja soma é 24.
Vamos chamar esses três termos assim:
1º termo = a1
2º termo = a1+6
3º termo = a1+2*6 = a1+12
Como a soma é igual a 24, então teremos que:
a1 + a1+6 + a1+12 = 24
3a1 + 18 = 24
3a1 = 24-18
3a1 = 6
a1 = 6/3
a1 = 2 <-----Já temos o valor de a1, ou seja, já temos o valor do primeiro termo.
Nesse caso, na PA, os três termos são:
1º termo = a1 = 2 ------------------------> 2
2º termo = a1+6 = 2+6 = 8 ------------> 8
3º termo = a1+12 = 2+12 = 14------> 14
Logo, essa PA é (2; 8; 14)
Agora, vamos à questão do item "a".
Vamos denominar esses três termos assim:
1º termo = a1 = 2 <----Veja que, conforme vimos na questão anterior, o primeiro termo é 2.
2º termo = 2q
3º termo = 2q²
Como a soma é igual a 26, então:
2 + 2q + 2q² = 26
2q + 2q² = 26 -2
2q + 2q² = 24 -------dividindo tudo por 2 e ordenando, temos:
q² + q = 12
q² + q - 12 = 0
As raízes dessa equação são:
q' = 3
q'' = -4
Como não nos interessa a raiz negativa, já que se trata de idades (logo,positivas) entáo ficamos apenas com a raiz positiva e igual a:
q = 3.
Para q = 3, teremos os seguintes números para a PG.
1º termo = a1 = 2 ---------------------------> 2
2º termo = a1q = 2*3 = 6 -----------------> 6
3º termo = a1q² = 2*3² = 2*9 = 18 ----> 18
Assim a PG é: (2; 6; 18).
Agora, vamos a cada número específico:
a1 = 2
a2 = (veja que o a2 está na PG e o 2º termo da PG = 6). Então:
a2 = 6
a3 = (veja que o a3 está na PA e o 2º termo da PA = 8). Logo:
a3 = 8
a4 = (veja que o a4 está na PA e o 3º termo da PA = 14). Assim:
a4 = 14
a5 = (veja que o a5 está na PG e o 3º termo da PG = 18). Então:
a5 = 18
Logo, os 5 números são: 2; 6; 8; 14; e 18. <----Pronto. Essa é a resposta.
MAIS VELHO - 18 ANOS
SEQUÊNCIA DADA: a1, a2, a3,a4, a5
PA >>> a1, a3, a4 r = 6
a1+a3+a4 = 24 (dado da questão)
De acordo uma das propriedades da PA, podemos dizer:
a1 = a3+6
a4 = a3-6
Portanto: a3+6+a3+a3-6 = 24 > 3a3=24 > a3=8
Se a3 = 8, a sequência será a seguinte: 2,8,14
PG>>>> a1,a2,a5 q = ?
a1+a2+a5 = 26 (dado da questão)
Como a1 é o mesmo da sequência anterior, e de acordo com a seguinte propriedade da PG:
a1 = a2/q >> a2 = 2*q
a5 = a2*q >> a5 = 2*q*q = 2q²
Portanto: 2+2q+2q²=26 >> 2q²+2q-24=0 >> q²+q+12=0 (função do 2º grau que resolvendo chegamos as raízes -4 e 3, mas usaremos 3 porque a questão diz que os números não podem ser negativos).
Por isso a razão da PG é igual a 3. Sendo assim, a sequência será: 2, 6 , 18
JUNTANDO AS SEQUÊNCIAS FICA: 2, 6, 8, 14, 18. PORTANTO, IDADE MÁXIMA 18 ANOS.