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Gabarito D
Nós sabemos que "x" (barra)* é uma variável aleatória com média μ e variância σ²/n,se a população é infinita ou se o processo de amostragem é feito com reposição. (Nosso Caso)
"x" (barra)* é a média amostral - o QC não aceita o símbolo X com a barra em cima :(
Se a população for finita e a amostragem for feita sem reposição,um fator de correção deverá ser utilizado.
Para um intervalo de confiança de 95%,nós temos um Z=1,96. (não sei se foi fornecido na prova,mas é nosso dever decorar pelo menos esse).
n = 64.
Lembrando que a variância é conhecida,se não for,utilizaremos a tabela de distribuição T-de student.
O intervalo de confiança será delimitado por :
X(barra) +/- Z* (σ/√n)
Como os intervalos foram dados (23,27),saberemos que X(barra) é = 25 (centro da distribuição,mas iremos calculá-lo a seguir). Formaremos um sistema 2 x 2:
X(barra) + 1,96* (σ/√64) = 27
X(barra) - 1,96* (σ/√64) = 23
OBS: Nem precisaria do sistema,pois Z* (σ/√n)= 2. Daqui daria para achar σ.
Resolvendo simultanemante:
X(barra) + 1,96* (σ/8) = 27
X(barra) - 1,96* (σ/8) = 23. Encontraremos X(barra) = 25 e σ=8,16.
No caso da questão,a amplitude corresponde a:
27 - 23 = 4 ou 2*Z* (σ/√n).
No passo 2, o enunciado solicita a metade da amplitude,ou seja, se antes era 4, agora A = 2.
A = 2*Z* (σ/√n).
2 = 2*1,96* (8,16/√n) ---> √n = 1,96*8,16
√n = 16 (aprox.) Logo,elevando ambos os lados ao quadrado:
n = 16² -> n=256.
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Amplitude é 2 * (Z_zero) * (DP_amostra)
Amplitude é 4
DP_amostra é DP_população / raiz de n
4 = 2 * 1,96 * DP_pop / 8
4 * 8 = 3.92 * DP_pop
32 = 3.92 * DP_pop
32 / 3.92 = DP_pop
Vamos de novo pra fórmula da amplitude, agora conhecendo DP e desconhecendo n
2 = 2 * 1.96 * (32/3.92)/raiz(n)
2 * raiz(n) = 3.92 * 32 / 3.92
2 * raiz(n) = 32
raiz(n) = 32 / 2
raiz(n) = 16
raiz(n)^2 = 16^2
n = 256
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Intervalo [23;27]
Amplitude = 27 - 23 = 4
Erro = Amplitude / 2 = 2 (O erro amostral é a metade da amplitude.)
Média = 25 ; 25 + 2 = 27 , 25 - 2 = 23 ; [23;27]
Erro = DP / raiz(n)
2 = DP / raiz(64)
DP = 16
Para amplitude igual a metade da anterior:
Amplitude anterior = 4 ; Erro = 2
Amplitude nova = 2 ; Erro = 1
Erro = DP / raiz(n)
1 = 16 / raiz(n)
raiz(n) = 16
n = 16^2
n = 256
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fórmula
€= σ/√n* z
A questão deu 95% de Confiança, correspondente a 1,96.valor tabelado
O intervalo { 23---------27}
A= 2
X= 25, ( 25-2= 23; 25+2= 27) jeito fácil de achar para números inteiros.
Aplicando a
fórmula
€= σ/√n* z= 2
Então,
2= σ/√64*1,96
2*√64= 1,96σ
σ=8,1
var(x)^2=16
16^2= 256
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Basicamente, você só precisa mexer no N. Que é o denominador do cálculo.
Veja um exemplo. Tenho uma amplitude que é dada por 100/2 = 50.
At = 100
Como eu posso diminuir essa amplitude pela metade? Ora, eu dobro o denominador. 100/4 = 25
At = 25
Basta saber que n = 64. Raiz de 64 = 8. Ou seja, eu preciso que o numerador seja 16. Mas não se esqueça que 16 deve ser o resultado da Raiz de X.
16 x 16 = 256.
x = 256
O raciocínio ficou correto ou simplesmente dei sorte?
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Primeiro descubro o Desvio Padrao para o Primeira intervalo de confiança:
1,96 x S /RAIZ DE 64 =2 ( amplitude 4 , pra mais ou menos , ou seja , 2)
S= 8,16
Agora para metade da amplitude :
1,96x8,16 = 1 x raiz de N
Raiz de N = 16
n= 256
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Acertei assim:
Intervalo [23;27]
Amplitude = 27 - 23 = 4
Erro = Amplitude / 2 = 2 (O erro amostral é a metade da amplitude.)
Média = 25 ; 25 + 2 = 27 , 25 - 2 = 23 ; [23;27]
Erro = DP / raiz(n)
2 = DP / raiz(64)
DP = 16
Para amplitude igual a metade da anterior:
Amplitude anterior = 4 ; Erro = 2
Amplitude nova = 2 ; Erro = 1
Erro = DP / raiz(n)
1 = 16 / raiz(n)
raiz(n) = 16
n = 16^2
n = 256