ERRADO.
A resposta está no artigo 659, inciso III da CLT, que trata da competência dos presidentes das Varas:
Art. 659 - Competem privativamente aos Presidentes das Varas, além das que lhes forem conferidas neste Título e das decorrentes de seu cargo, as seguintes atribuições:
III - dar posse aos vogais nomeados para a Vara, ao secretário e aos demais funcionários da Secretaria;
Portanto compete ao presidente da vara e não ao do TRT.
Só complementando os comentários já feitos, de fato a CLT coloca como competência do Juiz da Vara do Trabalho dar posse aos servidores da respectiva secretaria, nos termos do artigo citado pela colega abaixo.
Art. 659 - Competem privativamente aos Presidentes das Varas, além das que lhes forem conferidas neste Título e das decorrentes de seu cargo, as seguintes atribuições: III - dar posse aos vogais nomeados para a Vara, ao secretário e aos demais funcionários da Secretaria;
Mas complementando esse artigo, o art. 682, III, da CLT institui como competência do Presidente do TRT: dar posse aos Presidentes de Juntas e Presidentes Substitutos (ou seja, aos Juízes do Trabalho titulares e substitutos), aos vogais e suplentes e funcionários do próprio Tribunal e conceder férias e licenças aos mesmos e aos vogais e suplentes das Juntas.
Particularmente não vejo muito sentido nessas disposições da Lei, uma vez que o servidor da vara é, na essência, um servidor do respectivo tribunal. No entanto, tentando compreender a lógica disso, vejo como única explicação o seguinte raciocínio:
Na época de elaboração da CLT eram previstos apenas 8 TRT's no Brasil, os quais abrangiam a jurisdição trabalhista de vários estados, o que se pode constatar da simples leitura do art. 674 da CLT. Por esse motivo, no contexto da época, não seria razoável estabelecer que o Presidente do TRT empossasse os servidores que trabalhariam nas varas, espalhadas por vários Estados diferentes. Assim, ficou estabelecido, o que permanece no texto da CLT até hoje, que o Presidente do TRT empossa apenas os servidores que trabalharão no próprio TRT, enquanto os Juízes empossam os servidores que ficarão lotados nas varas. Acredito, no entanto, que os Regimentos Internos possam modificar essa regra, o que na verdade tem ocorrido em grande parte dos TRT's.