Questão 4056649

• Banca: FGV
• Órgão: FGV
• Ano: 2014
• Provas: FGV - 2014 - FGV - Vestibular - Prova Objetiva Tipo A
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Equações Polinomiais

Dada a equação polinomial x⁴ - 3x³ - 8x² + 22x - 24= 0 e sabendo-se que 1+ i é uma das raízes ( i é a unidade imaginária), pode-se afirmar que as outras duas raízes a e b são tais que 1/a +1/b vale

• A. - 1/4
• B. - 1/6
• C. - 1/8
• D. - 1/10
• E. - 1/12

Gabarito: E

Comentários

•  x4 - 3x³ - 8x² + 22x - 24= 0

  Sempre que um número imaginário for raiz, seu conjugado também será, então temos 1 + i e 1 - i como raízes, usando as relações de Girard

  Soma = -b/a = 3/1 = 3

  1 + i + 1 - i + a + b => 2 + a + b = 3 => a+b = 1

  Produto = e/a = -24

  (1-i) (1+i)(a)(b) = -24

  (1-i+i-i²)(ab) = -24

  Temos que lembrar das propriedades de potenciação de números imaginários, i² será -1

  substituído (1-i+i-(-1))(ab) = -24

  2ab = -24 => ab = -12

  Voltando ao enunciado ele pede:  1/a +1/b = (b+a)/ ab

  Substituindo: -1/12

  Alternativa E