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Vamos colocar os termos em função de y
q é a razão da PG
x = y/q
z = y*q
w = y*q²
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x + z = 20 (substituindo o x e o z)
x = y/q e z = y*q
y/q + y*q = 20 (vamos multiplicar toda a equação por q)
q*(y/q) + q*(y*q) = q*20 (fazemos isso pra sumir com aquele denominador maroto ali)
y + y*q² = 20q (deixe assim por enquanto)
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w + y = 60 (substituindo o w)
w = y*q²
y*q² + y = 60
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Olha que interessante, nos temos duas equação onde os termos do lado esquerdo da igualdade são iguais
y + y*q² = 20q
y*q² + y = 60
y + y*q² = y*q² + y
Se o lado esquerdo da igualdade das duas equações são iguais, então o lado direito também é igual, podemos igualar 20q e 60
20q = 60
q = 60/20 = 3 (achamos a razão)
Podemos marcar a alternativa A
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Mas vamos descobrir o valor de x que a questão também pede
x + z = 20
z = x*q² (substituir o z na equação)
x + x*q² = 20
sabemos que q (razão) vale 3
x + x*3² = 20
x + 9x = 20
10x = 20
x = 20/10 = 2
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( x , y , z , w ) , sendo uma PG:
( x , x*q , x*q² , x*q³).
O enunciado diz que:
w + y = 60
(x*q³) + (x*q) = 60 ; colocamos x*q em evidência
x*q ( q² + 1) = 60 (I)
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O enunciado também diz que:
x + z = 20
x + (x*q²) = 20 ; colocamos o x em evidência
x ( 1 + q² ) = 20 ; organizando letras e números
x ( q² + 1 ) = 20 (II) ; observe que este termo é semelhante a parte contido em (I) com exceção do q "de fora" e o 60
Vamos substituir este termo (II) em (I)
Retomando (I)
x*q ( q² + 1) = 60
q*x ( q² + 1) = 60 ; substitui o termo (II) aqui
q * 20 = 60
q = 60/20
q = 3
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Agora basta substituir o valor da razão (q=3) no termo II e acharemos o valor de X:
x ( q² + 1) = 20
x ( 3² + 1) = 20
x (9 + 1 ) = 20
x * 10 = 20
x = 20 / 10
x = 2
GABARITO A
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Solução em detalhes no link abaixo:
https://www.instagram.com/p/CGFKLaxjwlt/?igshid=1jbhm7hy3qu59
@emporiodamatematica
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Notação especial PG de 4 termos => ( x, x.q, x.q^2, x.q^3)
w+y=60 => x.q + x.q^3 =60
x.q( 1+ q^2)=60
1+q^2= 60/(x.q)
x + z = 20 => x+ x.q^2=20
x (1+ q^2) =20
x . 60/(x.q) =20
60 = 20q
q=3
Para o X é só substituir
x+ x.q^2=20
x+ x.9 =20
x=2
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Gabarito Letra A
Achei mais fácil ir testando as alternativas.
X = 2 (primeiro termo).
q = 3 (razão) , logo:
2 x 3 = 6
6 x 3 = 18
18 x 3 = 54
x, y, z, w
2, 6, 18, 54
2+18 = 20
6+54 = 60
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sem formula, testando a alternativa é tranquilo
se x=2 *3 y = 6 *3 z=18 *3 w=54
ja achamos na alternativa A
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PG (x, y, z, w)
Onde:
a1 = x; a2 = y; a3 = z e a4 = w
Pelo enunciado:
w + y = 60
x + z = 20
a4 + a2 = 60
a1 + a3 = 20
Escrevendo todos os termos em função de a1, temos:
a1.q³ + a1.q = 60 (i)
a1 + a1.q² = 20 (ii)
Fazendo: (i)/(ii), temos:
a1.q³ + a1.q 60 a1.q(q²+1)
-------------- = ----- ------> ------------------ = 3 ------> q = 3
a1 + a1.q³ 20 a1(1+q³)
Sendo:
a1 + a1.q² = 20
a1 +a1.3² = 20
a1 + 9a1 = 20
10a1 = 20
a1 = 20/10
a1 = 2
Resposta: Letra A