Questão 4220122

• Banca: IF-MT
• Órgão: IF-MT
• Ano: 2020
• Provas: IF-MT - 2020 - IF-MT - Professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Integral

O resultado da integral indefinida ∫ sec³(x) dx é:

• A. 1/4 sec³(x)tg(x) - 1/8 ln|sec(x) + tg(x)| - 1/8 sec(x)tg(x) + C
• B. 1/2 sec(x)tg(x) + 1/2 In|sec(x) +tg(x)| + C
• C. 1/2 sec³(x)tg(x) - 1/4 ln|sec(x) + tg(x)| - 1/4 sec(x)tg(x) + C
• D. 1/4 sec(x)tg(x) + 1/4 In|sec(x) +tg(x)| + C
• E. 1/3 sec(x)tg(x) + 1/3 In|sec(x) +tg(x)| - 1/3 sec(x) + C

Gabarito: B

Comentários

• Esta é uma questão que sai por integral por partes.

  Chama secx de u e sec^2x de dv.

  \int udv = uv - \int vdu

  u = sec x

  du = tgxsecxdx

  dv = sec^2x

  v = -tgx

  \int sec^3xdx = tgxsecx - \int tg^2x secx dx

  tg^2x = sec^2x - 1

  \int sec^3xdx = tgxsecx - \int secx(sec^2x - 1) dx

  Integrando por partes a integral do segundo membro, ficamos com:

  \int sec^3xdx = tgxsecx - (\int sec^3xdx - ln|secx + tgx|) + C

  2\int sec^3xdx = tgxsecx + ln|secx + tgx| + C

  E, portanto,

  \int sec^3xdx = 1/2tgxsecx + 1/2ln|secx + tgx| + C