Questão 516142

• Banca: FUMARC
• Órgão: BDMG
• Ano: 2011
• Provas: FUMARC - 2011 - BDMG - Analista de Desenvolvimento
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Áreas e Perímetros; Geometria Plana; Quadriláteros

Corta-se um arame de 30 metros em duas partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando

• A. o arame é cortado em duas partes iguais.
• B. uma parte é o dobro da outra.
• C. uma parte é o triplo da outra.
• D. uma parte mede 16 metros de comprimento.

Gabarito: A

Comentários

• Vamos por parte:
  
  1 - a questão diz que um arame de 30 metros é dividida em duas partes (vamos chamar de parte x e y) e não sabemos qual a medida de cada parte.
  
  parte:                                                       x                                  y
  arame:                                        |---------------------------|-------------------------------|
  
                                                    |-----------------------------------------------------------|
  tamanho total do arame ----->                                        30 m
  
  se somando se as partes temos:
  
                                                     x + y = 30                 ok!
  
  
• 4 - teremos as seguintes equações:
  
                                                                             x + y = 30  e  S = x^2 + y^2, resolvendo
  
                                                                             y = 30 - x,  substituindo
    
                                                                             S = x^2 + (30 - x)^2
  
                                                                              S = x^2 + 900 - 60x + x^2
  
                                                                               S = 2x^2 - 60x + 900, OK
  
  5 - Agora temos uma equação de 2 grau com concavidade para cima e para obter o menor valor de S basta calcular as raizes e achar o ponto mínimo da equação:
  
                                                                              delta = b^2 - 4*a*c
                                                                               delta = (-60)^2 - 4*900
                                                                               delta = 3600 - 3600 = 0, com o delta igual a zero obteremos uma única raiz, ou seja, um único ponto que toca         
                                                                                                                     o eixo x. 
  
                                                                               -b +- raiz( delta )
                                                                                ---------------
                                                                                       2*a
  
                                                                                - (-60) +- raiz ( 0 )
                                                                                -----------------------  = 15
                                                                                           4
  
• 6 - se, x=15, então (x + y = 30), y=15
  
  e 
  
  se temos uma única raiz, logo o ponto mínimo também é 15
  
  
                                                                                  |     *         *
                                                                                  |      *       *
                                                                                  |        *    *
                                                                            -----|---------*---------
                                                                                  |          15 -> ponto mínimo
  
  7 - Portanto o arame tem que ser cortado em duas partes iguais para obter o menor valor possível,
  
  RESPOSTA: LETRA A
• no cálculo do delta: (delta) = b²-4ac, por que você colocou o "a" com sendo "1", se ele é "2"? Com o "2" o delta fica negativo, por tanto não consegue-se solucionar a questão, pois não existe raiz de número negativo.
  Alguém sabe outra forma de solucionar essa questão?
• A solução acima está equivocada. O sistema, sendo X e Y os lados dos quadrados gerados, é:
  4x+4y=30
  x²+y²=S
  
  Da 1ª temos y=(30-4x)/4. Substituindo na segunda e desenvolvendo, chegamos a equação:
  S=2x²-15x+225/4
  
  Achando o x mínimo da parábola, temos:
  X_mím=-b/2a=15/4=3,75
  
  Ou seja, a Soma S é mínima quando um dos quadrados tem lado 3,75, o que significa 15 (3,75x4) de perímetro. Como a soma dos perímetros dos quadrados é 30, logo o outro quadrado também tem 15 de perímetro. Resposta: A
  

• Testando cada alternativa:

   

  a) S = (L.L) + (L.L) ---> S = 2L²   ou   2.15² = 450m²

   

  b) S = (L.L) + (2L.2L) ---> S = 5L²

   

  c) S = (L.L) + (3L.3L) ---> S = 10L²

   

  d) S = 16² + (30-16)² ---> S = 452m²