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Resolução completa em:
https://www.youtube.com/watch?v=zbjWry031U8&t=1276s
Bons estudos, galera!!
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Não precisa usar Integral para isso, pois existe uma condição para X e Y que são os intervalos fechados (<), se fossem abertos (<=), por exemplo: X>= 1 aí eu poderia ter variáveis aleatórias e independentes, pois sairia da Condição que foi colocada, ficaria algo independente e um valor aleatório.
Errada.
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Questão casca grossa, mas vou tentar uma analogia aqui (matemáticos, perdoem-me a grosseria hehehe).
Olha só, lembra lá de probabilidade? Quando aprendemos que a probabilidade condicional de A acontecer dado o acontecimento de B, para eventos INDEPENDENTES, era P(A,B) = P(A).P(B), então, usemos aqui o mesmo raciocínio.
f(x,y) deveria ser igual a f(x).f(y), quando x e y fossem variáveis aleatórias independentes. Um porém, f(x) e f(y) são as distribuições marginais de x e y.
Pausa para explicar o que é uma distribuição marginal: Bom, o problema nos traz uma distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias, sabe-se no entanto que é possível determinar a distribuição de uma variável sem considerar a outra, e a isso dar-se o nome de distribuição marginal.
Let´s bora!! A distribuição marginal de uma variável é definida como a integral da função densidade conjunta em relação à variável que se deseja desconsiderar. Portanto:
Distribuição marginal de x = integral de f(x,y) em relação a y -----> aplica-se o intervalo -----> 1/2 + x;
Distribuição marginal de y = integral de f(x,y) em relação a x -----> aplica-se o intervalo -----> 1/2 +y;
Perceba que se multiplicarmos (1/2+x).(1/2+y) teríamos um resultado DIFERENTE de (x+y), que é a função dada no enunciado para a distribuição conjunta das variáveis. Portanto, as variáveis não são independentes e a questão está ERRADA.
Qualquer equívoco, notifiquem-me.
Espero ter ajudado!!
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Gab: ERRADO
Se a função conjunta for igual ao produto da função marginal de x pela marginal de y, então as variáveis x e y serão independentes:
f (x,y) = f(x) * f(y)
f (x,y) tá no enunciado: f (x,y) = x + y
Descobrindo as funções marginais:
1) Função marginal de x:
f(x) = (x + y) dy no intervalo de 0 a 1 -> f(x) = (xy + y²/2)¹ -> f(x) = x + 1/2
2) Função marginal de y:
f(y) = (x + y) dx no intervalo de 0 a 1 -> f(y) = (xy + x²/2)¹ -> f(y) = y + 1/2
3) Agora iremos verificar se realmente são independentes:
f (x,y) = f(x) * f(y)
x + y é igual a (x + 1/2) * (y + 1/2)? Certamente não, por isso é errado afirmar que x e y são variáveis aleatórias independentes. Ela são dependentes.
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Prefiro contabilidade do que você! Xau
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