SóProvas

ID
545746
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Petrobras
Ano
2011
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Os números complexos Z1, Z2 e Z3 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética e são tais que Z1 + Z2 + Z3 = 6+9i onde i representa a unidade imaginária. Sendo assim, (Z2)2 é igual a


Alternativas
Comentários

  •  Se  z2 = a+ bi  , forma algébrica de um número complexo
    z1 = a + bi – r
    z3 = a+ bi + r
    Pois estão numa PA
    Exemplo de PA : (3, 7, 11)  a razão é 4   (r = 4)
      3 = 7 – 4  ou 7 - r
    11= 7 + 4 ou 7 + r
    7 é o termo intermediário.
     
     z1 + z2 + z3=  (a + bi – r)  + a+ bi + ( a+ bi + r)
     
    fica: 3a + 3 bi             ( r se cancelaram)
     
    3( a + bi) = (6+ 9i)  (enunciado)
    3( a + bi)  = 3(2 + 3i)   ( 3 em evidencia e  cancelando-se)
     
    (a+ bi)  =  ( 2 + 3i)                     mas   a + bi = z2                   fica  z2 = ( 2 + 3i)
     
    Pede-se ( z2) 2
     
    ( z2) 2 =   ( 2 + 3i)2  = ( 2 + 3i). ( 2 + 3i) = 4 + 6i + 6i + 9 i 2        ,     i 2    =  -1
     
    ( z2) 2  =  4  + 12i -9 =  -5 + 12i




    ALTERNATIVA C





    bons estudos!

  • Me explica aonde você arrumou os numeros dessa PA, minha duvida toda ta sendo ali

  • Se os três termos formam uma P.A., então vamos chamá-los assim:

    1º: z-r
    2º: z
    3º: z+r

    Como a soma dos três números é igual a 6+9i, então:

    z-r + z + z+r = 6 + 9i --- reduzindo os termos semelhantes do 1º membro, temos:
    3z = 6 + 9i ---- vamos chamar "z" de "a+bi". Assim:
    3*(a+bi) = 6 + 9i --- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:
    3*a + 3*bi = 6 + 9i
    3a + 3bi = 6 + 9i ---- dividindo ambos os membros por "3", vamos ficar com:
    a + bi = 2 + 3i ---- comparando o primeiro termo com o segundo, você já conclui que:

    a = 2 e b = 3.

    Então, como fizemos z = a + bi, temos que o o nosso "z" vai ser:

    z = 2 + 3i

    Agora vamos ver quais são estes termos:

    1º termo: z-r ---> 2+3i - r
    2º termo: z ----> 2 + 3i
    3º termo: z+r ---> 2+3i + r

    Como é pedido o 2º termo ao quadrado, então temos:

    (2+3i)² = 4 + 12i + 9i² ----- veja que i² = -1. Assim:
    4 + 12i + 9*(-1) = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i

     

    Gabarito C

  • Nossa,o nome já indica. Números complexos. Mas, depois da explicação,ficou bem claro e já consigo resolver