Para resolver essa questão com maior rapidez, é preciso saber as seguintes derivadas fundamentais:
1) dy/dx e^x = e^x (derivada de "e" elevado a "x" é igual a "e" elevado a "x")
2) dy/dx ln x = 1/x (derivada do logaritmo neperiano de "x" é igual a um sobre "x")
Sabendo dessas duas derivadas acima, deve-se aplicar a "regra do produto" nessa derivação. Tal regra pode ser exposta da seguinte forma: dy/dx f(x).g(x) = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x), onde f '(x) e g '(x) são as derivadas das funções. A regra do produto pode ser lida assim: a derivada do produto de duas funções é igual à soma entre o produto da derivada da primeira função e a segunda função e o produto da primeira função e a derivada da segunda função.
Aplicando tais preceitos ao problema da questão, temos:
Y = e^x . lnx
dy/dx e^x . lnx = e^x . lnx + e^x . (1/x)
dy/dx e^x . lnx = e^x [lnx + (1/x)] Gabarito: Letra D.
No caso de não saber as derivadas fundamentais, seria necessário, então, aplicar a regra fundamental de derivação para y = lnx e depois para y = e^x. A regra fundamental utiliza o limite de Y (que é o mesmo que f(x)) quando a variação do X (delta X = #X) tende a zero:
lim [f(x + #X) - f(x)] / #X, quando #X tende a zero.
No caso do lnx, seria assim: lim [ln(x + #X) - ln(x)] / #X, quando #X tende a zero. Para resolver isso, basta aplicar algumas regras de logaritmo.