Questão 5496967

• Banca: FADESP
• Órgão: Prefeitura de Marabá - PA
• Ano: 2019
• Provas: FADESP - 2019 - Prefeitura de Marabá - PA - Professor Licenciado em Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

Quatro números naturais não nulos (a, b, c, d) estão em Progressão Aritmética (PA) de razão r, de tal forma que (a, b, d) estão em Progressão Geométrica (PG) também de razão r. A respeito desses números, é correto afirmar que

• A. eles não existem.
• B. a razão é 1.
• C. a+b+c+d = 20.
• D. a = b = c = d.

Gabarito: C

Comentários

• Organizando as informações dadas: P (a) = (a, b, c, d) e P(g) = (a, b, d) e r como razão tanto da P(a) como da P(g).

  Pelas propriedades da P(a) temos que b = a + r, c = a + 2r, e d = a + 3r. Há uma propriedade da P(g) que diz que o termo central ao quadrado é igual ao produto dos termos extremos. Veja o exemplo da P(g) = (3, 6, 12); 6² = 3*12 = 36.

  Agora vamos usar essa propriedade da P(g):

  b² = a*b, substituindo temos (a + r)² = a*(a + 3r). Vamos ficar com

  a² + 2ar + r² = a² + 3ar, eliminando temos 2ar + r² = 3ar, ficando assim r² = ar. Por fim, dividiremos tudo por r e encontraremos r = a. Logo supondo que a = 2, logo P(a) = (2, 4, 6, 8) e P(g) = (2, 4, 8). Gabarito c) 2 + 4 + 6 + 8 = 20.

• Se (a, b, d) é uma PG de razão r e adotando b = x temos a PG (x/r , x, x.r) , para r ≠ 0, caso contrário os elementos da PG e PA seriam nulos o que contraia o enunciado⭐ Se (a, b, c, d) é uma PA de razão r e também adotando b = x temos a PA (x -r, x, x+r, x+2r) ⭐Logo a = x/r = x - r portanto x = x.r - r^2 e logo d = x.r = x + 2r⭐Substituindo a expressão de x.r desta equação em x.r daquela equação temos que x = x + 2r - r^2, portanto 0 = 2r - r^2⭐ Resolvendo está última e equação e sabendo que r é diferente 0 temos que r = 2.⭐ Substituindo 2 em r na equação x.r = x + 2r temos que 2x = x + 4, logo x = 4 = b⭐ Assim sendo a PA é (2, 4, 6, 8) e a + b + c + d = 2 + 4 + 6 + 8 = 20⭐ Alternativa correta C