Questão Q183446

Uma indústria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a área total da superfície do tambor é fixada em 36π dm² , o volume máximo que esse tambor pode ter é, em dm³ , igual a

Alternativas

Comentários

Fórmulas:
Área total do cilindro = 2 x área da base + perímetro da base x altura do cilindro
AC = 2πr² + 2πrh
Volume do cilindro = área da base x altura do cilindro
VC = πr²h
Dado: AC = 36π Obter: VC_máximo
Solução:
Partindo-se de AC temos:
AC = 2πr² + 2πrh → 36π = 2πr² + 2πrh → 18 = r² + rh → rh = 18 - r² → h = (18 - r²)/r (1)
Substituindo-se a relação (1) em “VC”, temos:
VC = πr²h → VC = πr²(18 - r²)/r → VC = πr(18 - r²) → VC = 18πr – πr³ (2)
Para “VC_máximo” aplica-se a derivada de “VC” em função de “r” na relação (2), sabendo-se que quando o valor da derivada for igual a zero tem-se, neste caso, o ponto de máximo da função polinomial de terceiro grau PA obter raio para VC_máximo
dVC/dr = 18π – 3πr²→ 0 = 18π – 3πr² → 3πr² = 18π → r² = 6 → r = √6
Substituindo-se r = √6 na relação (2) temos:
VC = 18πr – πr³→ VC_máximo = 18π x √6 – π(√6)³ → VC_máximo = 18π√6 – 6 π√6 →
VC_máximo =12π√6 → resposta a
putz que lafutis... parei na substituição do valor de H no Volume... dificil de mais
Criei valores ficticios para um cilindro , calculei quanto em porcentagem vale o volume em relação a área e por fim calculei quanto representa esta porcentagem em relação à area dada.
Acilindro = Aretângulo + 2.Acírculo
Aretângulo = h.2.pi.r
Acírculo = pi.r²

Substituindo,
36.pi = h.2.pi.r + pi.r²
h.r + r² = 18
h = (18 - r²)/r

O volume de um cilindro é obtido da mesma forma que de um prisma:
V = Ab.h = Acírculo.h = pi.r².h = pi.r².(18-r²)/r
V = 18.pi.r - pi.r³

Usamos derivada para encontrar o valor de r que dá o volume máximo
V' = 18.pi - 3.pi.r² = 0
3.pi.r² = 18.pi
r = 6^(1/2)

Calculando o volume,
V = 18.pi.6^(1/2) - pi.[6^(1/2)]³
V = 18.pi.6^(1/2) - 6.pi.6^(1/2)
V = 12.pi.6^(1/2)

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