Questão Q203206

Qual(is) das sentenças proposicionais abaixo é(são) equivalência(s) lógica(s)?

I. P∧(P∨Q)↔P.

II. ~ (P∧Q)↔~P∨~Q.

III. P∧(Q∨R)↔(P∧Q)∨(P∧R).

Alternativas

Apenas as sentenças I e II.

Apenas a sentença III.

Apenas as sentenças II e III.

Todas as sentenças.

Comentários

Pode-se resolver esta questão fazendo as tabelas-verdades para todas as possibilidades de P, Q e R e verificar a tautologia entre as expressões da esquerda ou da direita. Porém pode-se analisar rapidamente lembrando das propriedade das conjunções ^ e v:

A ^ B é verdadeiro se ambos forem verdadeiros e falso se apenas um deles for falso

A v B é falso se ambos forem falsos e verdadeiro se apenas um deles for verdadeiro. Assim vamos testar as assertivas:

I. P∧(P∨Q)↔P.

Correto:
Se P é verdadeiro, (P v Q) também é verdadeiro, logo P ^ (P v Q) é verdadeiro
Se P é falso, logo P ^ (P v Q) também é falso, independente de Q.

II. ~ (P∧Q)↔~P∨~Q.

Correto: É a 1a egra da negação. ~ (P∧Q) somente é falso se ambos P; Q forem verdadeiros; o que torna ~P; ~Q ambos falsos, e ~P∨~Q igualmente falso.
Para todo os outros casos de P;Q teremos sempre uma verdade de cada lado da equivalência

III. P∧(Q∨R)↔(P∧Q)∨(P∧R).

Correto:
Ora, se P é falso; P∧(Q∨R) é igualmente falso, independente de Q ou R
Igualmente (P∧Q) e (P∧R) serão ambos falsos o que deixaria a expressão (P∧Q)∨(P∧R) igualmente falsa

Se P for verdadeiro; P∧(Q∨R) somente será falso se ambos Q; R forem falsos. Porém neste caso (P∧Q) e (P∧R) serão ambos falsos o que também deixaria a expressão (P∧Q)∨(P∧R) falsa.

Para qualquer outro valor verdadeiro de Q ou R, a expressão da esquerda fica verdadeira e igualmente fica verdadeira a expressão da direita, verificando-se a tautologia.

Questão CERTA. Resposta correta alternativa D.
I. P ^ (P v Q) ↔ P. Certo: É uma equivalência lógica. Os itens I e II também são equivalências lógicas.

P	Q	P ^ (P v Q)	P
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	F	F

sera q alguem pode explicar na tabela....fora dela eu n to conseguindo entender
Veja as tabelas verdades de cada alternativa

P   Q          P ∧ (P∨Q) ↔ P. => I
V  V           V     V
V  F           F     V
F  V           V     V
F  F            F    F
               V       V

                F      F

               V       V

                F      F


P     Q                  ~ (P∧Q) ↔ ~P ∨ ~Q => II

V    V                          F            F     F
V    F                          V            F     V
F    V                          V           V      F
F    F                          V           V      V

                                                     F
                                     V
                                     V
                                     V

R    Q     P                P ∧ (Q ∨ R) ↔ (P ∧ Q) ∨ (P∧R). => III
V     V    V                V        V            V          V
V     V    F                F        V             F         F
V     F    V                V        V             F          V
V     F    F                F        V            F          F
F    V    V                V        V             V          V
F    V    F                F        V            F         F
F    F    V                V        F            F         F
F  F   F           F        F         F       F

                         V                 V
                         F                 F
                          V                V
                          F                 F
                          V                 V
                          F                 F
                          F                 F
                          F                F

GABARITO: D

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