Questão 613564

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: BRB
• Ano: 2011
• Provas: CESPE - 2011 - BRB - Escriturário
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Função de 1º Grau ou Função Afim, Problemas com Equação e Inequações; Funções

Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a
receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função
f(x) = -10.000(x²
– 14x + 13). O custo de produção desses x
milhares de unidades, também em reais, é estimado em
g(x) = 20.000(x + 3,5).

Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto,
julgue os próximos itens.

O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• "Correto"
   
  Tem-se que a função lucro é dada por:
  Lucro = receita – custo
  L(x) = f(x) – g(x) = -10.000(x² – 12x + 20)
  O valor de x para o qual se tem lucro máximo equivale ao x do vértice, então:
  x_v= -b/2a = 6
  Portanto, como x é dado em milhares, o lucro será máximo quando forem vendidas 6.000 unidades desse produto.
• não entendi direito!!
  vi que foi feito a equação de receita - custo, conseguir achar essa equação final 30000(x^2-12x+20)..vi que foi aplicado a formula de baskara, só que minha resposta deu  duas raízes (-2, 14),,De onde retiraram o valor 6 e como pode-se induzir que 6 milhares é o valor máximo de lucro? 
• Como o colega acima comentou, a fórmula do Lucro se dá pela diferença da receita com o custo, então, com todas as simplificações, a fórmula do lucro fica assim:
  
  -x² + 12x - 20
  
  Com isso, como a questão pede o lucro máximo com relação à determinada quantidade do produto, calcula-se o X do vértice pela fórmula -b/2a, que no caso da função do lucro acima fica:
  
  Xv = -b / 2a
  Xv = -12 / -2
  Xv = 6
  
  Como a própria questão fala que está em milhares de unidades, ficam 6 x 1000 = 6.000 unidades do produto.
  
  Questão CERTA!!!
• Resolvendo a questão utilizando derivadas:
  Para encontrar o lucro máximo, basta derivar a equação do lucro e igualar a zero.
  Lucro = Receita – Custo
  L = R - C
  Então: = -10.000(x2 – 14x + 13) – 20.000(x + 3,5).
  Lucro = -10.000x2 + 140.000x  - 130.000 – 20.000x - 70.000
  Lucro = -10.000x2 + 120.000x  - 200.000
  Derivando a função do Lucro:
  dL/d(x) = -20.000x + 120.000
  Igualando a zero:
  -20.000x + 120.000 = 0
  -20.000x = -120.000
  x = 120.000/20.000
  x = 6
  Como o “x” está em milhares, a resposta é 6.000.
  O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto.

• Simplificando...

  Como achamos que as raízes são 2 e 10, para achar o Xv (ou ponto de máximo) é só fazer a média das raízes. Logo: (2+10)/2 = 6 

  Como x está em milhares, então, será igual a 6000.

  Gabarito: Certo

• GABARITO – CERTO

   

  Resolução:

   

  Lucro = Receita – Despesa

   

  L = -10000(x^2 – 14x + 13) – 20000(x + 3,5)

   

  ⁞

   

  Teste de hipótese:

   

  L = -10000(x^2 – 14x + 13) – 20000(x + 3,5)

   

  L = -10000(x^2 – 14x + 13) – 20000(x + 3,5)

   

  L = -10x^2 + 140x - 130 – 20x – 70

   

  L = -10x^2 + 120x – 200

   

  ⁞

   

  -10x^2 + 120x – 200

   

  a = -10

   

  b = 120

   

  c = -200

   

  ⁞

   

  Δ = b^2 – 4ac

   

  Δ = (120)^2 – 4 . (-10) . (-200)

   

  Δ = 14400 – 8000

   

  Δ = 6400

   

  ⁞

   

  x = -b + - √Δ / 2a

   

  x = - 120 + - √6400 / 2 . (-10)

   

  x = -120 + - 80 / -20

   

  x’ = -40/-20 = 2

   

  x’’ = -200/-20 = 10

   

  ⁞

   

  O lucro máximo corresponderá ao ponto equidistante entre as raízes encontradas.

   

  2 >>> 6 >>> 10

   

  Contraprova:

   

  Xv = -b/2a

   

  Xv = -120 / 2 . (-10)

   

  Xv = -120/-20 = 6*

   

  * Corresponde a 6000, pois foram cortados três zeros no início da operação.

• cadê o prof Renato???