Questão Q213964

Uma urna contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 3 amarelas. Desta urna, três bolas são selecionadas ao acaso e com reposição. A probabilidade de que, entre as 3 selecionadas, no máximo duas sejam pretas é

Alternativas

0,976.

0,936.

0,875.

0,784.

0,652.

Comentários

- Probabilidade de que as três sejam pretas: 4/10 . 4/ 10 . 4/ 10 = 64 / 1000

Obs.: as probabilidades se repetem pois há reposição

Como quero no máximo que 2 sejam pretas eu faço 1 - 0,064 = 0,936

RESPOSTA B
Obrigado Igor por comentar, porém, não ficou muito claro a resolução dessa questão.
Poderemos resolvê-la da seguinte forma:

Seja X, nossa variável aleatória definida como sendo "quantidade de bolas pretas serem selecionadas".
Neste caso, nossa variável aleatória assumiria os seguintes valores: 0, 1, 2, 3.
Então, como o interesse está em ter no máximo duas bolas pretas, então, teríamos o seguinte:

P(X<=2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) (expressão 1)

Nossa variável aleatória X, segue distribuição binomial com a seguinte função de probabilidade:

P(X = x) = [ n! / x!(n-x)! ] . p^x (1-p)^n-x (expressão 2)

em que,
X maiúsculo é a nossa variável aleatória;
x minúsculo é uma realização da variável aleatória;
n tamanho da amostra (número de retiradas da urna);
! símbolo que representa o fatorial;
p é a probabilidade de sucesso;
(1-p) é a probabilidade de fracasso.

Vamos lá:

Para facilitar nossa notação, chamaremos as bolas de: B(Branca) , P(Preta) e A(Amarela) .
De acordo com a questão, temos as seguintes probabilidades:

P(B) = 3/10 = 0,3
P(P) = 4/10 = 0,4 = p (nossa probailidade de sucesso)
P(A) = 3/10 = 0,3

Lembrando que o valor "10" é a quatidade de bolas na urna (tamanho da população).
Então, de acordo com a expressão 2 teremos o seguinte:

P(X = 0) = [ 3! / 0!(3-0)! ] . 0,4⁰ (1-0,4)^3-0 = 0,216
P(X = 1) = [ 3! / 1!(3-1)! ] . 0,4¹ (1-0,4)^3-1 = 0,432
P(X = 2) = [ 3! / 2!(3-2)! ] . 0,4² (1-0,4)^3-2 = 0,288

E agora, voltando na expressão 1, teremos o resultado final:

P(X<=2) = 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936

espero ter ajudado e um abraço a todos!

Att.
André Barbosa V. da Silva
Resposta Correta: Letra B
Caros colegas, quero parabenizá-los por ambos comentários postados!
Igor resolveu o problema pela diferença entre a totalidade da probabilidade menos o evento que não é favorável, ou seja:
P (x≤2) = 1 - P (x = 3)
P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) - P(X=3)
ΣP(X≤Xi) = 1
de i até n
Todos eventos favoráveis - o evento não favorável em um espaço amostral possível
Meu Xará André, resolveu o problema pelo método da Distribuição Binomial.... foi demonstrado de uma forma esplendorosa!
Seguindo o método do Igor, solucionarei o problema utilizando o conceito de probabilidade mais banal:
Vamos calcular a possibilidade de encontrar no máximo 2 bolas pretas:
P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
b = brancas
p = pretas
a = amarelas
Assim: Para P (p=0), temos as seguintes formas:
(b,b,b) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
(a,a,a) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
(b,b,a) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
(a,b,b) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
(b,a,b) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
(b,a,a) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
(a,a,b) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
(a,b,a) = 3/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 27 / 1000
P (p=0) = 8*27/1000 = 216/1000
Para P (p=1), temos as seguintes formas:
(p,b,b) = 4/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(p,b,a) = 4/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(p,a,b) = 4/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(p,a,a) = 4/10 . 3/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(b,p,a) = 3/10 . 4/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(a,p,b) = 3/10 . 4/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(b,p,b) = 3/10 . 4/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(a,p,a) = 3/10 . 4/ 10 . 3/ 10 = 36 / 1000
(a,a,p) = 3/10 . 3/ 10 . 4/ 10 = 36 / 1000
(b,b,p) = 3/10 . 3/ 10 . 4/ 10 = 36 / 1000
(a,b,p) = 3/10 . 3/ 10 . 4/ 10 = 36 / 1000
(b,a,p) = 3/10 . 3/ 10 . 4/ 10 = 36 / 1000
P(p=1) = 12*36 = 432/1000
Para P(p=2), temos as seguintes formas:
(p,p,a) = 4/10 . 4/ 10 . 3/ 10 = 48 / 1000
(p,p,b) = 4/10 . 4/ 10 . 3/ 10 = 48 / 1000
(p,a,p) = 4/10 . 3/ 10 . 4/ 10 = 48 / 1000
(p,b,p) = 4/10 . 3/ 10 . 4/ 10 = 48 / 1000
(b,p,p) = 3/10 . 4/ 10 . 4/ 10 = 48 / 1000
(a,p,p) = 3/10 . 4/ 10 . 4/ 10 = 48 / 1000
Para P(p=2) = 6*48 = 288/1000
Assim: P(p≤2) (216+432+288)/1000 = 0,936
Provando que o método que o Igor fez está correto...a probabilidade de encontrarmos o valor de P(p≤2) = 1 - P(p=3) = 1 - [4/10 . 4/ 10 . 4/ 10 = 64 / 1000] = 0,936
Qual método seria o mais adequado para a prova?! Lembrando que existe um fatorzinho nada trivial chamado tempo... rsrs
Igor óbvio!!
PORÉM, NÃO ESQUECER QUE NA PROVA QUE PODE SER PEDIDO P(X=1) = ?
Para X equivalento o parâmetro = Bolas pretas!
Nessa caso, melhor resolução é do meu xará André!!
O negócio é não matar a apenas questão... mas, sim o conceito da matéria para não ter que ficar retomando a mesma questão e o mesmo estudo!
Estamos aqui para aprender realmente estatística!! Na hora da prova, é melhor ir com todas as armas! Ir preparado só com as questões fáceis, manjadas e pelas formuletas não matam a maioria das questão de estatística, principalmente as do Bacen ou SUSEP!!
Abraços!
SO QUERO SABER QUEM É QUE VAI TER TEMPO PRA FAZER UM CÁLCULO DESSE TAMANHO IGUAL DOS DOIS COMENTÁRIOS ACIMA!!! PARABÉNS IGOR PELA SUA RESOLUÇAO!! PROVA TEM QUE SER RÁPIDO PRA GANHA TEMPO..
Prezados,

Não consegui entender a afirmação:

"Como quero no máximo que 2 sejam pretas eu faço 1 - 0,064 = 0,936"

Poderiam detalhar esta definição? Desde já agradeço.
Thiago,

A resolução de P(máx duas pretas) = 1 - P(três pretas) se baseia em "eventos complementares"

Você concorda que a P(nenhuma preta) + P(uma preta) + P(duas pretas) + P(três pretas) = 1 ??
Não há outro resultado possível, ou seja, ao escolher três bolas com reposição teremos nenhuma, uma, duas ou três bolas pretas.
Você concorda que P(máximo duas pretas) = P(nenhuma preta) + P(uma preta) + P(duas pretas) ??
Compare os dois trechos assinalados com marca-texto.

Substituindo no primeito trecho assinalado, P(máx duas pretas) + P(três pretas) = 1; e isolando P(máx duas pretas) = 1 - P(três pretas)

Espero ter ajudado
Abs
É facil e não demora muito!

Legenda: BOLA PRETA = P e
BOLA DE OUTRA COR = X.

Probabilidade de NENHUMA BOLA ser preta.

P (X X X) = 6/10* 6/10 * 6/10
P (X X X) = 0,216

Probabilidade de 1 BOLA ser preta.

P (P X X) = 4/10 * 6/10 * 6/10 * 3 ( Lembrar a bola preta pode ser a primeira, a segunda ou a terceira)
P (P X X) = 0,432

Probabilidade de 2 BOLAS serem pretas.

P (P P X) = 4/10 * 4/10 * 6/10 * 3 ( Lembrar a bola preta pode ser a primeira e a segunda, ou a primeira e a terceira, ou a segunda ou a terceira)
P (P P X) = 0,288

Agora é só somar: 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936!
Sejam os eventos

A: No máximo duas bolas são pretas

(~A) : complementar(negação) de A (as três bolas são prestas):

P(~A) = 4/10 x 4/10 x 4/10 = 64/1000=0,064 (lembre que o evento é com reposição! o espaço amostral é sempre 10 em cada etapa da retirada)

P(A) + P(~A) = 1

P(A) = 1 - P(~A)

P(A) = 1 - 0,064 = 0,936
gente, PALMAS PARA O IGOR, O CARA TROCOU IDEIA COM PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR FACILICITANDO ALGO DE FORMA PRECISA, OU SEJA, FOI EFICIENTE. OBRIGADO, IRMÃO!!!!

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