SóProvas

ID
655135
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFESP
Ano
2007
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x3 –2x2 + x – 2 = 0.

A soma dos quadrados dessas raízes é igual a

Alternativas
Comentários
  • Olá
    Dado o polinômio x³ -2x² + x –2 =0  é de forma ax³ + bx² + cx + d = 0     polinômio completo do 3º grau na variável x.
     
    Seus coeficientes são: a = 1 , b = -2  . c = 1 e  d = - 2
     
    Relações de Girard:  p + q + r = -b/a = -(-2)/1 = 2   (I)
                                  pq + pr + qr = c/a = 1                 (II)
                                              pqr = -d/a -(-2)/1 = 2     (III)
     
    como o enunciado pede  a soma dos quadrados da raízes, podemos elevar ao quadrado a equação (I): ( p + q + r) ² = (2)²
     
                         ( p² + q² + q² + 2 pq + 2pr + 2qr ) = 4
     
                        ( p² + q² + r²) = 4 – 2 ( pq + pr + qr)  =4 – 2 (1)  = 2
                                                                  de (II)
     
    relações de Girard: Em geral, qualquer livro de matemática do 3º ano do 2º grau .
     
    Boa sorte.
     

  • Utilizando-se as Relações de Girard é possível resover estes exercícios porém é mais fácil usar a fatoração para tal.

    x3 –2x2 + x – 2 = 0 É IGUAL A: x^2 ( x -2) + x-2. Colocando-se o " X-2" em evidência, têm-se:
     
    x-2 (     x^2 + 1)=0 . Portanto as raízes da equação são OS VALORES que tornem o X igual a zero. Paran isso como está tudo em evidência, pode-se separá-las em duas equações, que torne a inicial igual a zero.  
    x-2 = 0 X 1 = 2.  
     x^2  + 1 = 0.  x^2 = -1.   POR DEFIÇÃO ISSO É IGUAL A " I" ( ESTUDEM NÚMEROS COMPLEXOS).  
    X 2 = I e X 3 = -I

    A SOMA DOS QUADRADOS DESSAS RAÍZES SERÃO: 2^2 + i^2 -i^2 = 4 + -1 - 1 = 2