Questão Q246881

Question

Considere todas as placas de automóveis que possuem as mesmas três letras iniciais. Escolhendo ao acaso uma delas, a probabilidade de que ela tenha dois ou três dígitos repetidos está entre:

Answer

Vamos lá!

As placas de automóveis possuem 3 letras e 4 números via de regra aqui no Brasil. A questão interpela que as letras inicias dos automóveis em questão são iguais.

O número de possibilidade total dos números será: 10*10*10*10=10.000

O número de possibilidades sem repetições será: 10*9*8*7=5.040

E teremos o número total com os 4 números repetiddos que serão 10 (0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)...(9,9,9,9)

RACIOCÍNIO: O NÚMERO EM QUE TERÃO REPETIÇÕES DE NÚMEROS SERÁ: TOTAL menos OS QUE NÃO TEM REPETIÇÕES: 10.000-5040=4.960 (esses aqui tem repetições)

Ou seja, nesse número temos repetições de 2, 3 e 4 números. Porém a questão quer apenas os que tem 2 e 3. Deduzimos as possibilidades com repetições de 4 algarismos que são 10. FICARÁ--->4.960-10=4.950 (ESSA É A RESPOSTA) letra a

4.950/100=49,50%, OU SEJA, está entre 45 e 50%

até mais!

;)

Answer

C10,2 x (1/10)² x (9/10)² + C10,3 x (1/10)³ x 9/10 ==> 45 x 81/10000 + 120 x 9/10000 ==> 0,354 + 0,108 ==> 0,462
0,462 x 100 = 46,2%
Resp.: a

Answer

10*10*10*10=10000

10*9*8*7=5040

4 R=10

2/3 r=4950

10000___100%
4950____x

x=49.5%

Answer

Resposta Correta: Letra A

O método de resolução foi solucionado pelos companheiros Diêgo e Gloomy!
Foi pedido a probabilidade de que tenha 2 ou 3 [P(X=1) U P(X=2)] dígitos repetidos!
Ficando:
P (X=0) = 0 número repetido (1,2,3,4);
P (X=1) = 2 números repetidos (1,1,2,3);
P (X=2) = 3 números repetidos (1,1,1,2);
P (X=3) = 4 números repetidos (1,1,1,1).
Sabe-se que a soma de: P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1

Portanto:
P (X=1) + P(X=2) = 1 - [ P(X=0) + P(X=3) ]
Esta foi a resolução do Diêgo e Gloomy!

Ana, para se utilizar do método de Distribuição Binomial para calcular as devidas probabilidades P(X=2 U X=3), as chances de sucesso e fracasso deverão ser constantes!!
Vide: http://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_binomial

$f(k;n,p)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,$

Neste Exercício foi possível chegar na resposta...mas, observe que vc não chegou no valor correto!
n = número de tentativas;
k = número de sucesso;
n - k = número de fracasso.

n = 4 amostras e k = 2
No entanto, a probabilidade do número ser repetido 1 ou 2 vezes não é constante.
Tal método seu é perfeito para exercícios com moedas, dados e eventos sucessivos que se conheça a probabilidade do sucesso!

Espero ter ajudado!

Answer

O engraçado é que pelo método da inclusão...eu cheguei praticamente no mesmo resultado que a Ana...ela, possivelmente, pensou diferente do método de distribuição binomial...desculpe meu equívoco... =/
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
P(X=1) = C4,2 * 10 * 1 * 9 * 8 = 6 * 720 = 4320
{A} {A} {A-1} {A-2}

P (X=2) C4,3 * 10 * 1 * 1 * 9 = 4 * 90 = 360
{A} {A} {A} {A-1}

P (X=1) + P(X=2) = 46,8%
Foi o mesmo método de resolução do pessoal do Fórum dos Concurseiros...Alguém saberia chegar no 49,5% pelo método da inclusão??
Obrigado!

Answer

Pessoal,

Assim como alguns aqui, fiz essa questão pelo método da inclusão e pelo da exclusão, e encontrei resultados diferentes. Confesso que fiquei inconformado e insisti na questão até descobrir o porquê dessa diferença de resultado, que é relativamente simples. Vou explicá-la aqui o mais detalhadamente possível em duas postagens, pois o site usa limite de caracteres.

Pelo método da exclusão:

- O enunciado pede a probabilidade de que a placa tenha 2 ou 3 dígitos repetidos. Basta calcular o complementar (formado pelas placas que não têm nenhum dígito repetido ou por aquelas que possuem todos os dígitos repetidos) e diminuir de 1 (100%).

As placas que não possuem nenhum dígito repetido são ao todo:
10 x 9 x 8 x 7 = 5.040

As placas que possuem todos os dígitos iguais são: 10 x 1 x 1 x 1 = 10
(0000, 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999)

Somando os dois, temos 5.050 placas (casos favoráveis) em um total de 10.000 placas possíveis (total de combinações dado pela multiplicação 10 x 10 x 10 x 10)

Assim, pelo método da exclusão teremos:
P = 1 - (5.050/10.000) = 1 - 50,5% = 49,5%

(Método da inclusão na postagem seguinte)

Answer

Pelo método da inclusão:

- Em vez de calcular o complementar, calcular direto a probabilidade de 2 ou 3 dígitos serem iguais, e somar as duas.

Vejamos a probabilidade de a placa ter 2 dígitos iguais da forma mais didática possível.
São 6 possibilidades, retornando cada uma um resultado de 720.
Destrinchando, os dígitos iguais podem ser:

- o 1° e o 2° --> 10 x 1 x 9 x 8 = 720
- o 1° e o 3° --> 10 x 9 x 1 x 8 = 720
- o 1° e o 4° --> 10 x 9 x 8 x 1 = 720
- o 2° e o 3° --> 10 x 9 x 1 x 8 = 720
- o 2° e o 4° --> 10 x 9 x 8 x 1 = 720
- o 3° e o 4° --> 10 x 9 x 8 x 1 = 720

Temos então 720 x 6 = 4.320 possibilidades de placas com 2 dígitos repetidos.

Agora, a probabilidade de a placa ter 3 dígitos iguais.
Pelo mesmo raciocínio, serão 4 possibilidades, retornando cada uma um resultado de 90.
Os 3 dígitos iguais podem ser:

- o 1°, o 2° e o 3° --> 10 x 1 x 1 x 9 = 90
- o 1°, o 2° e o 4° --> 10 x 1 x 9 x 1 = 90
- o 1°, o 3° e o 4° --> 10 x 9 x 1 x 1 = 90
- o 2°, o 3° e o 4° --> 10 x 9 x 1 x 1 = 90

Temos assim 90 x 4 = 360 possibilidades de placas com 3 dígitos repetidos.

Logo, o total de placas com 2 ou 3 dígitos repetidos será dado por: 4.320 + 360 = 4.680 placas.

Certo?

Errado!!!

O que é muito difícil de se perceber aqui é que quando calculamos as placas com 2 dígitos iguais, os outros 2 dígitos eram necessariamente diferentes. Porém, como as placas têm 4 dígitos ao todo, faltou relacionarmos aquelas que possuem 2 iguais + 2 iguais (ex.: 1122). Daí vem a diferença encontrada.

Precisamos então adicionar estas placas ao cálculo. E quais são as possibilidades? Vejamos:

- 1° e 2° iguais; 3° e 4° iguais: 10 x 1 x 9 x 1 = 90
- 1° e 3° iguais; 2° e 4° iguais: 10 x 9 x 1 x 1 = 90
- 1° e 4° iguais; 2° e 3° iguais: 10 x 9 x 1 x 1 = 90

Somamos assim mais 270 casos favoráveis. Temos agora 4.680 + 270 = 4.950 casos favoráveis.

Os casos possíveis são 104 = 10.000

A probabilidade então fica em: P = 4.950 / 10.000 = 49,5%

O mesmo resultado, portanto, pelo método da inclusão e da exclusão.

Bons estudos a todos!

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