Questão 792016

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Transpetro
• Ano: 2012
• Provas: CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Elétrica
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Cilindro

A fim de modelar a forma de uma das pilastras que sustenta uma obra de arte, um engenheiro utilizou o sólido do ℜ ³ que é limitado superiormente pelo paraboloide z = 2.(x² + y² ), lateralmente pelo cilindro x² + y² = 2y e, inferiormente, pelo plano xy.
Qual é o volume do sólido utilizado pelo engenheiro para modelar a forma da referida pilastra?

• A. π/2 u.v.
• B. 3π/2 u.v.
• C. 3π u.v.
• D. 6π u.v.
• E. 8πu.v.

Gabarito: C

Comentários

• Olá, não consegui resolver essa questão, alguém saberia me explicar?

  Obrigado!

   

• O volume do sólido é dado por:

  V = integral tripla (1dV)

  Utilizando coordenadas cilindricas, temos que:

  x = r.cos(t)

  y = r.sen(t)

  z = z

  dV = r.dz.dr.dt

  A integral tripla em coordenadas cilíndricas é:

  V = integral tripla (r.dz.dr.dt)

  Transformando as funções em condenadas polares:

  z = 2r^2

  r^2 =2r.sen(t). ------------ r = 2sen(t)

  Para encontrar os limites de integral de teta, é necessário realizar o desenho das funções. Mas como o cilindro está sobre o eixo y positivo, fica fácil de identificar que teta ( representado por 't') varia de 0 a pi. Temos, portanto:

  0 < z < 2r^2

  0 < r < 2.sen(t)

  0 < t < PI

  Se integrado correntamente, a terceira integral é:

  V = integral (8.sen^4(t)) dt, de 0 a pi.

  A integral pode ser resolvida considerando:

  sen^2(t) = 1/2.(1-cos(2t)) ------- cos^2(2t) = 1/2.(1+cos(4t))

• essa questão, sai com coordenadas cilíndricas como o rapaz disse ali no comentário, só achei brincadeira da banca colocar sin^4 t para calcular, mas enfim fazendo todos o cálculos corretos, fica a letra C